Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
a(x)=x^3-3 x^2+2 x+7.

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos o gráfico da função a(x)=x^3-3x^2+2x+7, identificando intervalos de crescimento e decrescimento, pontos críticos, descontinuidades e assíntotas. Vamos usar noções de domínio, derivada e análise de sinais para chegar lá.

Passo 2

Primeiro vamos ao domínio e continuidade. Como a(x) é um polinômio, seu domínio é todo o conjunto dos reais ( R) e ele é contínuo em todos os pontos, portanto não há descontinuidades.

Passo 3

Agora calculamos a derivada, que nos diz a taxa de variação instantânea e serve para achar os extremos locais. Temos:
a'(x)=ddxl(x^3-3x^2+2x+7r)=3x^2-6x+2

Passo 4

Em seguida encontramos os pontos críticos resolvendo a'(x)=0:
3x^2-6x+2=0
O discriminante é De. Logo as raízes são
x=6pmraiz126=1pmraiz33,
ou seja aproximadamente
x1approx0.423 e x2approx1.577.

Passo 5

Para decidir onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de a'(x):
  • Para x<0.423, a'(x)>0 (cresce).
  • Para 0.423, a'(x)<0 (decresce).
  • Para x>1.577, a'(x)>0 (cresce).

Passo 6

Verificamos as assíntotas e o comportamento no infinito. Como é polinômio de grau 3, não existem assíntotas verticais nem horizontais. O comportamento é:
  • xto-infty: a(x)to-infty.
  • xto+infty: a(x)to+infty.

Passo 7

Por fim, para esboçar o gráfico, marcamos os pontos críticos com seus valores aproximados:
a(0.423)approx7.385, a(1.577)approx6.614
O gráfico sobe até (0.423,7.385), desce até (1.577,6.614) e depois sobe de novo, sem descontinuidades e sem assíntotas.

Resposta

Intervalos de crescimento: ( -infty,0.423) e (1.577,+infty). Intervalo de decrescimento: (0.423,1.577). Pontos críticos: (0.423,7.385) (máximo local) e (1.577,6.614) (mínimo local). Sem descontinuidades. Sem assíntotas horizontais ou verticais.

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