Esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos, os pontos de descontinuidade e as assíntotas:
.
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos o gráfico da função
, identificando intervalos de crescimento e decrescimento, pontos críticos, descontinuidades e assíntotas. Vamos usar noções de domínio, derivada e análise de sinais para chegar lá.
Passo 2
Primeiro vamos ao domínio e continuidade. Como
é um polinômio, seu domínio é todo o conjunto dos reais (
) e ele é contínuo em todos os pontos, portanto não há descontinuidades.
Passo 3
Agora calculamos a derivada, que nos diz a taxa de variação instantânea e serve para achar os extremos locais. Temos:
Passo 4
Em seguida encontramos os pontos críticos resolvendo
:
O discriminante é
. Logo as raízes são
ou seja aproximadamente
e
.
Passo 5
Para decidir onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de
:
- Para
, (cresce). - Para
, (decresce). - Para
, (cresce).
Passo 6
Verificamos as assíntotas e o comportamento no infinito. Como é polinômio de grau 3, não existem assíntotas verticais nem horizontais. O comportamento é:
-
: . -
: .
Passo 7
Por fim, para esboçar o gráfico, marcamos os pontos críticos com seus valores aproximados:
O gráfico sobe até
, desce até
e depois sobe de novo, sem descontinuidades e sem assíntotas.
Resposta
Intervalos de crescimento:
e
. Intervalo de decrescimento:
. Pontos críticos:
(máximo local) e
(mínimo local). Sem descontinuidades. Sem assíntotas horizontais ou verticais.