Calcule os limites abaixo. Se for possível, use a continuidade das funções do exercício anterior.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{4 x^{2}+5 x-6}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to -2} \frac{4x^{2} + 5x - 6}{x^{2} - 4}.
Isso envolve polinômios no numerador e denominador, e ao substituir diretamente em x=-2 obtemos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração para simplificar a expressão e então aplicar continuidade de funções racionais.

Passo 2

Verificamos o valor de numerador e denominador em x=-2:
4(-2)^{2} + 5(-2) - 6 = 16 - 10 - 6 = 0,
(-2)^{2} - 4 = 4 - 4 = 0.
Como dá 0/0, temos forma indeterminada e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatorando o denominador:
x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2).

Passo 4

Fatorando o numerador. Buscamos dois números cujo produto seja 4 \cdot (-6) = -24 e cuja soma seja 5. Esses números são 8 e -3, de modo que
4x^{2} + 5x - 6 = 4x^{2} + 8x - 3x - 6 = 4x(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(4x - 3).

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original e cancelando o fator comum x+2 (válido para x\neq -2):
\frac{4x^{2} + 5x - 6}{x^{2} - 4} = \frac{(x + 2)(4x - 3)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{4x - 3}{x - 2}.

Passo 6

Agora a função \frac{4x - 3}{x - 2} é contínua em x=-2, pois o denominador não zera lá. Logo,
\lim_{x \to -2} \frac{4x - 3}{x - 2} = \frac{4(-2) - 3}{-2 - 2} = \frac{-8 - 3}{-4} = \frac{-11}{-4} = \frac{11}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{4}

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