Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
; encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
(a menos que a série termine antes).
(c) Calculando o wronskiano
, mostre que
e
formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
(c) Calculando o wronskiano
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
O enunciado pede solução em série de potências da equação
em torno de
.
Conteúdo: séries de potências em ponto ordinário.
Método: assumir
Conteúdo: séries de potências em ponto ordinário.
Método: assumir
calcular
,
, inserir na EDO, alinhar potências de
e obter relação de recorrência.
Passo 2
Calcule
e
:
Multiplicando na EDO:
Renumerando o primeiro somatório com
e juntando as potências
resulta em
Passo 3
Igualando coeficientes de
a zero, obtém-se a relação de recorrência
ou seja
Passo 4
Para a solução par tome
e
. Usando
:
k :
k
k
:
k
:
k
:
Logo os quatro primeiros termos de
são
Passo 5
Para a solução ímpar tome
e
. Novamente da recorrência:
k :
k
k
:
k
:
k
:
Logo os quatro primeiros termos de
são
Passo 6
Escolhendo
,
para simplificar, temos
,
,
,
.
O wronskiano em é
O wronskiano em
logo
são fundamentalmente independentes.
Passo 7
O termo geral fica implícito na recorrência
. Em particular, para
:
solução par
solução par
solução ímpar
Resposta
Relação de recorrência:
Quatro primeiros termos:
Wronskiano em
:
, logo conjunto fundamental.
Termo geral dado pela recorrência acima.
Termo geral dado pela recorrência acima.