Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_{0}; encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes).
(c) Calculando o wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)\left(x_{0}\right), mostre que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
\left(2+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+4 y=0, \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede solução em série de potências da equação
(2+x^{2})y'' - x\,y' + 4y = 0
em torno de x_{0}=0.
Conteúdo: séries de potências em ponto ordinário.
Método: assumir
y = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n},
calcular y', y'', inserir na EDO, alinhar potências de x e obter relação de recorrência.

Passo 2

Calcule y' e y'':
y'=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{\,n-1},\quad y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{\,n-2}.
Multiplicando na EDO:
(2+x^{2})y''=2\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} +\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n},
-\,x\,y'=-\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n},\quad 4y=4\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
Renumerando o primeiro somatório com k=n-2 e juntando as potências x^{k} resulta em
2\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k} +\sum_{k=0}^{\infty}\bigl[k(k-1)-k+4\bigr]a_{k}x^{k}=0.

Passo 3

Igualando coeficientes de x^{k} a zero, obtém-se a relação de recorrência
2(k+2)(k+1)\,a_{k+2} +\bigl[k^{2}-2k+4\bigr]a_{k}=0,
ou seja
\label{recorr} a_{k+2} =-\frac{k^{2}-2k+4}{2\,(k+2)(k+1)}\,a_{k}, \quad k\ge0.

Passo 4

Para a solução par tome a_{0}\neq0 e a_{1}=0. Usando \eqref{recorr}:
k =0:
a_{2} =-\frac{0-0+4}{2\cdot1\cdot2}\,a_{0} =-1\cdot a_{0}.
k =2:
a_{4} =-\frac{4-4+4}{2\cdot3\cdot4}\,a_{2} =-\frac{4}{24}\,(-a_{0}) =\tfrac{1}{6}a_{0}.
k =4:
a_{6} =-\frac{16-8+4}{2\cdot5\cdot6}\,a_{4} =-\frac{12}{60}\,\bigl(\tfrac{1}{6}a_{0}\bigr) =-\tfrac{1}{30}a_{0}.
k =6:
a_{8} =-\frac{36-12+4}{2\cdot7\cdot8}\,a_{6} =-\frac{28}{112}\,(-\tfrac{1}{30}a_{0}) =\tfrac{1}{120}a_{0}.
Logo os quatro primeiros termos de y_{1} são
y_{1}(x) =a_{0}\Bigl[1 - x^{2} + \tfrac{x^{4}}{6} - \tfrac{x^{6}}{30} + \cdots\Bigr].

Passo 5

Para a solução ímpar tome a_{1}\neq0 e a_{0}=0. Novamente da recorrência:
k =1:
a_{3} =-\frac{1-2+4}{2\cdot2\cdot3}\,a_{1} =-\tfrac{3}{12}\,a_{1} =-\tfrac{1}{4}a_{1}.
k =3:
a_{5} =-\frac{9-6+4}{2\cdot4\cdot5}\,a_{3} =-\frac{7}{40}\,(-\tfrac{1}{4}a_{1}) =\tfrac{7}{160}a_{1}.
k =5:
a_{7} =-\frac{25-10+4}{2\cdot6\cdot7}\,a_{5} =-\frac{19}{84}\,\bigl(\tfrac{7}{160}a_{1}\bigr) =-\tfrac{19}{1920}a_{1}.
k =7:
a_{9} =-\frac{49-14+4}{2\cdot8\cdot9}\,a_{7} =-\frac{39}{144}\,(-\tfrac{19}{1920}a_{1}) =\tfrac{247}{92160}a_{1}.
Logo os quatro primeiros termos de y_{2} são
y_{2}(x) =a_{1}\Bigl[x - \tfrac{x^{3}}{4} + \tfrac{7x^{5}}{160} - \tfrac{19x^{7}}{1920} + \cdots\Bigr].

Passo 6

Escolhendo a_{0}=1, a_{1}=1 para simplificar, temos \,y_{1}(0)=1, y_{1}'(0)=0, y_{2}(0)=0, y_{2}'(0)=1.
O wronskiano em x=0 é
W(y_{1},y_{2})(0) =y_{1}(0)\,y_{2}'(0) -y_{1}'(0)\,y_{2}(0) =1\cdot1-0\cdot0 =1\neq0,
logo y_{1},y_{2} são fundamentalmente independentes.

Passo 7

O termo geral fica implícito na recorrência \eqref{recorr}. Em particular, para m\ge0:
solução par
a_{2m+2} =-\frac{(2m)^{2}-2(2m)+4}{2\,(2m+2)(2m+1)}\,a_{2m},
solução ímpar
a_{2m+3} =-\frac{(2m+1)^{2}-2(2m+1)+4}{2\,(2m+3)(2m+2)}\,a_{2m+1}.

Resposta

Relação de recorrência:
a_{k+2} =-\frac{k^{2}-2k+4}{2\,(k+2)(k+1)}\,a_{k}.
Quatro primeiros termos:
y_{1}(x)=1 - x^{2} + \tfrac{x^{4}}{6} - \tfrac{x^{6}}{30} + \cdots, \quad y_{2}(x)=x - \tfrac{x^{3}}{4} + \tfrac{7x^{5}}{160} - \tfrac{19x^{7}}{1920} + \cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1\neq0, logo conjunto fundamental.
Termo geral dado pela recorrência acima.

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