Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_{0}; encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes).
(c) Calculando o wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)\left(x_{0}\right), mostre que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução. y^{\prime \prime}+k^{2} x^{2} y=0, \quad x_{0}=0, \quad k constante
Passo 1
O enunciado pede séries de potências em torno de x_{0}=0 para a EDO
y''+k^{2}x^{2}y=0,
onde k é constante. Vamos assumir
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
e determinar a relação de recorrência entre os coeficientes a_{n}, depois extrair duas soluções independentes (uma par e outra ímpar), calcular o wronskiano em 0 e, por fim, obter o termo geral.