Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_{0}; encontre a relação de recorrência.
(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y_{1} e y_{2} (a menos que a série termine antes).
(c) Calculando o wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)\left(x_{0}\right), mostre que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções.
(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
y^{\prime \prime}+k^{2} x^{2} y=0, \quad x_{0}=0, \quad k constante

Passo 1

O enunciado pede séries de potências em torno de x_{0}=0 para a EDO
y''+k^{2}x^{2}y=0,
onde k é constante. Vamos assumir
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
e determinar a relação de recorrência entre os coeficientes a_{n}, depois extrair duas soluções independentes (uma par e outra ímpar), calcular o wronskiano em 0 e, por fim, obter o termo geral.

Passo 2

Derivando e substituindo:
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}, \qquad y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n}.
A EDO torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n} \;+\; k^{2}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+2} =0.
Reindexando o segundo somatório para a mesma potência x^{n} e igualando coeficientes, obtemos para n\ge2:
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}+k^{2}\,a_{n-2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2}=-\frac{k^{2}}{(n+2)(n+1)}\,a_{n-2}.
Além disso, dos termos de ordem x^{0} e x^{1} vêm
2\cdot1\,a_{2}=0,\quad 3\cdot2\,a_{3}=0 \;\Longrightarrow\; a_{2}=a_{3}=0.

Passo 3

Há duas séries independentes: a par a_{1}=0 e a ímpar a_{0}=0.
— Para a par, escolhemos a_{0}=1, a_{1}=0. Pelas recorrências:
a_{4}=-\frac{k^{2}}{4\cdot3}=-\frac{k^{2}}{12},\quad a_{8}=-\frac{k^{2}}{8\cdot7}\,a_{4}=\frac{k^{4}}{672},\quad a_{12}=-\frac{k^{2}}{12\cdot11}\,a_{8}=-\frac{k^{6}}{60480}.
Logo
y_{1}(x)=1-\frac{k^{2}x^{4}}{12}+\frac{k^{4}x^{8}}{672} -\frac{k^{6}x^{12}}{60480}+\cdots.
— Para a ímpar, a_{0}=0, a_{1}=1.
a_{5}=-\frac{k^{2}}{5\cdot4}=-\frac{k^{2}}{20},\quad a_{9}=-\frac{k^{2}}{9\cdot8}\,a_{5}=\frac{k^{4}}{1440},\quad a_{13}=-\frac{k^{2}}{13\cdot12}\,a_{9}=-\frac{k^{6}}{120960}.
Portanto
y_{2}(x)=x-\frac{k^{2}x^{5}}{20}+\frac{k^{4}x^{9}}{1440} -\frac{k^{6}x^{13}}{120960}+\cdots.

Passo 4

Em x=0:
y_{1}(0)=1,\;y_{1}'(0)=0, \quad y_{2}(0)=0,\;y_{2}'(0)=1.
O wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(0) =\begin{vmatrix}1&0\\\ 0&1\end{vmatrix} =1\neq0,
logo \{y_{1},y_{2}\} é conjunto fundamental de soluções.

Passo 5

Da recorrência nota-se que só existem coeficientes não nulos para n=4m e n=4m+1. Para m\ge1:
a_{4m} =(-1)^{m}\,\frac{k^{2m}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(4j)(4j-1)}, \quad a_{4m+1} =(-1)^{m}\,\frac{k^{2m}}{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}(4j+1)(4j)},
e a_{n}=0 para os demais n.

Resposta

Recorrência:
a_{n+2}=-\frac{k^{2}}{(n+2)(n+1)}\,a_{n-2},\quad a_{2}=a_{3}=0.
Quatro primeiros termos:
y_{1}(x)=1-\frac{k^{2}x^{4}}{12}+\frac{k^{4}x^{8}}{672} -\frac{k^{6}x^{12}}{60480}+\cdots,
y_{2}(x)=x-\frac{k^{2}x^{5}}{20}+\frac{k^{4}x^{9}}{1440} -\frac{k^{6}x^{13}}{120960}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1\neq0, logo é conjunto fundamental.
Termo geral:
a_{4m}=(-1)^{m}\frac{k^{2m}}{\prod_{j=1}^{m}(4j)(4j-1)}, \quad a_{4m+1}=(-1)^{m}\frac{k^{2m}}{\prod_{j=1}^{m}(4j+1)(4j)}.

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