Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações úteis dadas pelo enunciado (comportamento das funções quando
):
-
(aproxima-se de zero vindo de valores positivos). -
(aproxima-se de 1 por valores menores que 1). - Consequentemente
e .
A pergunta é: qual é o valor do limite quando
se aproxima de
pela esquerda?
Passo 2
Verificação da indeterminação e preparação para usar a Regra de L’Hôspital.
A expressão dada é uma diferença de duas quantidades que tendem a
, logo tem a forma indeterminada do tipo
. A Regra de L’Hôspital se aplica diretamente apenas a quocientes com indeterminação
ou
. Portanto convém reescrever a expressão como um quociente.
Escrevendo em termos de seno e cosseno:
Ao tomar o limite, temos
e
, então a forma é
, uma indeterminação onde a Regra de L’Hôspital é aplicável.
Passo 3
Enunciado da Regra de L’Hôspital (em palavras simples):
Se e
(ou ambos
) e as derivadas
,
existem numa vizinhança de
(exceto talvez em
), então
Se
se o limite do lado direito existir (ou for
).
Aqui podemos aplicar com
e
.
Derivando numerador e denominador:
Pelo L’Hôspital,
A expressão
é a função
. Quando
temos
e
, logo
Passo 4
Método alternativo (mais curto, útil na prova): usar identidade para evitar derivar.
Usando a identidade trigonométrica
, tem-se
portanto, quando
,
Ao aproximar
de
, tanto
quanto
tendem a
, então
, e assim
Essa observação dá o mesmo resultado sem usar L’Hôspital.
Passo 5
Interpretação final e incentivo rápido: tanto pela aplicação correta da Regra de L’Hôspital (após converter para
) quanto pela identidade algébrica, a expressão tende a zero. Isso é bem típico: duas quantidades que vão para infinito podem ter diferença finita (aqui zero) — sempre bom tentar reescrever ou usar identidades antes de sair derivando feito doido. Você está indo bem!
Resposta
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