Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}}(\operatorname{sec} x-\tan x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \rightarrow (\pi/2)^{-}} (\operatorname{sec} x - \tan x).
Informações úteis dadas pelo enunciado (comportamento das funções quando x \to (\pi/2)^{-}):
  • \cos x \to 0^{+} (aproxima-se de zero vindo de valores positivos).
  • \sin x \to 1^{-} (aproxima-se de 1 por valores menores que 1).
  • Consequentemente \operatorname{sec} x = 1/\cos x \to +\infty e \tan x = \sin x/\cos x \to +\infty.
A pergunta é: qual é o valor do limite quando x se aproxima de \pi/2 pela esquerda?

Passo 2

Verificação da indeterminação e preparação para usar a Regra de L’Hôspital.
A expressão dada é uma diferença de duas quantidades que tendem a +\infty, logo tem a forma indeterminada do tipo \infty - \infty. A Regra de L’Hôspital se aplica diretamente apenas a quocientes com indeterminação \,0/0 ou \infty/\infty. Portanto convém reescrever a expressão como um quociente.
Escrevendo em termos de seno e cosseno:
\operatorname{sec} x - \tan x = \frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1 - \sin x}{\cos x}.
Ao tomar o limite, temos \,1-\sin x \to 0^{+} e \cos x \to 0^{+}, então a forma é \,0/0, uma indeterminação onde a Regra de L’Hôspital é aplicável.

Passo 3

Enunciado da Regra de L’Hôspital (em palavras simples):
Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty) e as derivadas f'(x), g'(x) existem numa vizinhança de a (exceto talvez em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty).
Aqui podemos aplicar com f(x)=1-\sin x e g(x)=\cos x.
Derivando numerador e denominador:
f'(x)=\frac{d}{dx}(1-\sin x)=-\cos x, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.
Pelo L’Hôspital,
\lim_{x \rightarrow (\pi/2)^{-}}\frac{1-\sin x}{\cos x} = \lim_{x \rightarrow (\pi/2)^{-}}\frac{-\cos x}{- \sin x} = \lim_{x \rightarrow (\pi/2)^{-}}\frac{\cos x}{\sin x}.
A expressão \dfrac{\cos x}{\sin x} é a função \cot x. Quando x \to (\pi/2)^{-} temos \cos x \to 0 e \sin x \to 1, logo
\lim_{x \rightarrow (\pi/2)^{-}}\frac{\cos x}{\sin x}=0.

Passo 4

Método alternativo (mais curto, útil na prova): usar identidade para evitar derivar.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}x-\tan^{2}x=1, tem-se
(\operatorname{sec} x-\tan x)(\operatorname{sec} x+\tan x)=1,
portanto, quando \operatorname{sec} x+\tan x\neq 0,
\operatorname{sec} x-\tan x=\frac{1}{\operatorname{sec} x+\tan x}.
Ao aproximar x de (\pi/2)^{-}, tanto \operatorname{sec} x quanto \tan x tendem a +\infty, então \operatorname{sec} x+\tan x\to +\infty, e assim
\frac{1}{\operatorname{sec} x+\tan x}\to 0.
Essa observação dá o mesmo resultado sem usar L’Hôspital.

Passo 5

Interpretação final e incentivo rápido: tanto pela aplicação correta da Regra de L’Hôspital (após converter para (1-\sin x)/\cos x) quanto pela identidade algébrica, a expressão tende a zero. Isso é bem típico: duas quantidades que vão para infinito podem ter diferença finita (aqui zero) — sempre bom tentar reescrever ou usar identidades antes de sair derivando feito doido. Você está indo bem!

Resposta

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