Técnica: Usar logaritmo natural. Se L=\lim y, então \ln L=\lim \ln y. Ao final, L=e^{\ln L}.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} (Tipo 1^{\infty} - Definição de e )

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Informações dadas relevantes:
  • A expressão é \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}.
  • A variável vai para infinito: x\to\infty.
  • Esse é um caso clássico do tipo indeterminado 1^{\infty} (pois 1+\dfrac{1}{x}\to1 e a potência x\to\infty).
    A tarefa é encontrar o valor desse limite (se existir).

Passo 2

Aplicar a técnica sugerida: tomar logaritmo natural. Defina
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Se existir L=\lim_{x\to\infty}y e sendo y>0 para x suficientemente grande (de fato 1+\dfrac{1}{x}>0 para x> -1), então a função \ln é contínua e vale
\ln L=\lim_{x\to\infty}\ln y.
Agora calcule \ln y usando a propriedade dos logaritmos (o logaritmo de uma potência é o expoente vezes o logaritmo da base):
\ln y = x\,\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).

Passo 3

Para tornar o limite mais manejável, faça a substituição
t=\frac{1}{x}.
Quando x\to\infty temos t\to0^{+}. Reescrevendo \ln y em termos de t:
\ln y = x\,\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\ln(1+t)}{t}.
Portanto
\ln L=\lim_{x\to\infty} \ln y = \lim_{t\to0^{+}} \frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 4

Avaliar agora o limite
\lim_{t\to0^{+}} \frac{\ln(1+t)}{t}.
Observações: quando t\to0^{+} temos \ln(1+t)\to0 e t\to0, portanto a expressão é do tipo \dfrac{0}{0}. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Lembrando a regra (em palavras): se as funções do numerador e do denominador são diferenciáveis num entorno de 0 (exceto possivelmente em 0) e o quociente é indeterminado 0/0 ou \infty/\infty, então o limite do quociente é igual ao limite do quociente das derivadas (quando este existir).
Calcule as derivadas:
  • derivada de \ln(1+t) em relação a t é \dfrac{1}{1+t};
  • derivada de t em relação a t é 1.
Pelo L’Hôpital:
\lim_{t\to0^{+}} \frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t\to0^{+}} \frac{\dfrac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t\to0^{+}} \frac{1}{1+t} = 1.
(Observação alternativa: poderia-se usar a expansão \ln(1+t)=t-\dfrac{t^{2}}{2}+\cdots, daí \dfrac{\ln(1+t)}{t}\to1 quando t\to0. Mesmo resultado.)

Passo 5

Concluímos que
\ln L = 1.
Agora volte da transformação logarítmica: exponenciando ambos os lados,
L = e^{\ln L} = e^{1} = e.
Portanto o limite existe e vale e. Um lembrete prático para a prova: transformar potências com variável no expoente tomando logaritmo costuma transformar indeterminações do tipo 1^{\infty} em quocientes onde se pode aplicar L’Hôpital ou usar séries/Taylor.

Resposta

e

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