Técnica: Usar logaritmo natural. Se
, então
. Ao final,
.
(Tipo
- Definição de
)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas relevantes:
- A expressão é
. - A variável vai para infinito:
. - Esse é um caso clássico do tipo indeterminado
(pois e a potência ).
A tarefa é encontrar o valor desse limite (se existir).
Passo 2
Aplicar a técnica sugerida: tomar logaritmo natural. Defina
Se existir
e sendo
para
suficientemente grande (de fato
para
), então a função
é contínua e vale
Agora calcule
usando a propriedade dos logaritmos (o logaritmo de uma potência é o expoente vezes o logaritmo da base):
Passo 3
Para tornar o limite mais manejável, faça a substituição
Quando
temos
. Reescrevendo
em termos de
:
Portanto
Passo 4
Avaliar agora o limite
Observações: quando
temos
e
, portanto a expressão é do tipo
. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Lembrando a regra (em palavras): se as funções do numerador e do denominador são diferenciáveis num entorno de
(exceto possivelmente em
) e o quociente é indeterminado
ou
, então o limite do quociente é igual ao limite do quociente das derivadas (quando este existir).
Calcule as derivadas:
- derivada de
em relação a é ; - derivada de
em relação a é .
Pelo L’Hôpital:
(Observação alternativa: poderia-se usar a expansão
, daí
quando
. Mesmo resultado.)
Passo 5
Concluímos que
Agora volte da transformação logarítmica: exponenciando ambos os lados,
Portanto o limite existe e vale
. Um lembrete prático para a prova: transformar potências com variável no expoente tomando logaritmo costuma transformar indeterminações do tipo
em quocientes onde se pode aplicar L’Hôpital ou usar séries/Taylor.