Calcule os limites abaixo:
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{4 t^{2}+3 t+2}{t^{3}+2 t-6}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{t\to 0}\frac{4t^{2}+3t+2}{t^{3}+2t-6}.
Este é um limite de quociente de polinômios. Sabendo que polinômios são funções contínuas e que o denominador em t=0 não é zero, podemos usar a regra de substituição direta:
seja
f(t)=4t^{2}+3t+2, \quad g(t)=t^{3}+2t-6,
então
\lim_{t\to0}\frac{f(t)}{g(t)}=\frac{f(0)}{g(0)},
desde que g(0)\neq0.

Passo 2

Calculamos f(0) e g(0) por substituição direta:
f(0)=4\cdot0^{2}+3\cdot0+2=2,
g(0)=0^{3}+2\cdot0-6=-6.

Passo 3

Como g(0)=-6\neq0, o limite é
\lim_{t\to0}\frac{4t^{2}+3t+2}{t^{3}+2t-6} =\frac{f(0)}{g(0)} =\frac{2}{-6} =-\frac{1}{3}.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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