Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-3^{-}} \frac{-x^{3}+9 x^{2}-20 x}{x^{2}-x-12}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -3^-}\frac{-x^3+9x^2-20x}{x^2-x-12}.
Trata-se de um limite de função racional onde a substituição direta leva a denominador zero. Vamos então fatorar numerador e denominador, simplificar a expressão e, por fim, analisar o sinal do quociente quando x se aproxima de -3 pela esquerda.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
- x^3 + 9x^2 -20x = -x\bigl(x^2 -9x +20\bigr) = -x(x-5)(x-4),
x^2 - x -12 = (x-4)(x+3).

Passo 3

Cancelamos o fator comum (x-4) (válido para x\neq4), obtendo a forma simplificada
\frac{-x(x-5)}{x+3}.

Passo 4

Avalia-mos o numerador em x=-3:
-(-3)\bigl(-3-5\bigr) = 3\cdot(-8) = -24.
O denominador x+3 tende a zero. Para x\to -3^-, temos x+3<0 com |x+3|\to0.

Passo 5

Como o numerador se aproxima de -24 (constante negativa) e o denominador é um número negativo cada vez mais próximo de zero, o quociente cresce sem limite positivo. Logo,
\lim_{x\to -3^-}\frac{-x^3+9x^2-20x}{x^2-x-12}=+\infty.

Resposta

+\infty

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