Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{2 x^{2}-9}{x^{2}-9}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to3^+}\Bigl(\frac{1}{x-3}-\frac{2x^2-9}{x^2-9}\Bigr).
O conteúdo envolve manipular frações algébricas, fatorar polinômios e analisar sinais para x\to3^+.

Passo 2

Observe que x^2-9 fatora como (x-3)(x+3). Vamos escrever as duas frações com o mesmo denominador:
\frac{1}{x-3} = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)}, \qquad \frac{2x^2-9}{x^2-9} = \frac{2x^2-9}{(x-3)(x+3)}.

Passo 3

Subtraindo as frações sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{x-3}-\frac{2x^2-9}{x^2-9} = \frac{\,x+3\, - (2x^2-9)}{(x-3)(x+3)} = \frac{-2x^2 + x +12}{(x-3)(x+3)}.
Fatora-se o numerador:
-2x^2 + x +12 = -\bigl(2x^2 - x -12\bigr) =-\bigl(2x+3\bigr)(x-4).

Passo 4

Portanto a expressão fica
\frac{-(2x+3)(x-4)}{(x-3)(x+3)}.
Quando x\to3^+:
  • O numerador tende a -(2\cdot3+3)(3-4)=9 (positivo).
  • O denominador (x-3)(x+3) tende a 0^+, pois x-3>0 e x+3>0.
Logo o quociente cresce sem limite, ou seja, diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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