Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x+1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{x+1}{x^2-1}.
O conteúdo envolvido é limite de função racional e para resolvê-lo vamos usar fatoração do denominador e análise de sinais das parcelas quando x se aproxima de 1 pela esquerda.

Passo 2

Observamos o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando x\to1^-.
O numerador (x+1) tende a
x+1\;\longrightarrow\;1+1\;=\;2,
que é um valor finito e positivo.

Passo 3

Fatoramos o denominador para entender como ele se aproxima de zero:
x^2-1 = (x-1)(x+1).
Quando x\to1^-:
  • x-1 é um número negativo muito pequeno (pois x<1 mas próximo de 1),
  • x+1\to2 continua positivo e finito.
    Portanto o produto (x-1)(x+1) é negativo e tende a zero pela esquerda (denominador negativo e de módulo pequeno).

Passo 4

Como o numerador tende a 2>0 e o denominador tende a 0^-, o quociente tende a -\infty. Em outras palavras, um valor positivo dividido por um número negativo muito pequeno diverge para -\infty.

Resposta

\lim_{x\to1^-}\frac{x+1}{x^2-1} = -\infty.

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