Determine as assíntotas verticais das funções abaixo, através do cálculo de limites infinitos:
f(x)=\frac{3 x^{2}-5 x+2}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais de
f(x)=\frac{3x^{2}-5x+2}{x^{2}}
para isso precisamos estudar os limites de f(x) quando x se aproxima dos valores que anulam o denominador, pois assíntota vertical ocorre quando a função tende a \pm\infty nessas singularidades.

Passo 2

Identificamos o domínio de f como todos os reais, exceto onde x^{2}=0. Logo o único ponto a investigar é
x=0.

Passo 3

Para facilitar o cálculo dos limites, dividimos termo a termo:
f(x)=\frac{3x^{2}}{x^{2}}-\frac{5x}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}} =3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^{2}}.

Passo 4

Calculamos o limite pela direita x\to0^{+}:
  • 3 é constante;
  • -5/x\to -\infty;
  • 2/x^{2}\to +\infty.
    Como 2/x^{2} cresce mais rápido que -5/x, o somatório tende a +\infty.
\lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty.

Passo 5

Calculamos o limite pela esquerda x\to0^{-}:
  • -5/x\to +\infty;
  • 2/x^{2}\to +\infty.
    Assim o somatório também tende a +\infty.
\lim_{x\to0^{-}}f(x)=+\infty.

Passo 6

Como em x=0 a função tende a infinito pelos dois lados, concluímos que há assíntota vertical em x=0.

Resposta

A única assíntota vertical é
x=0.

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