Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x-1}{1-\sqrt{x^{2}-x+1}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0^-}\frac{-x-1}{1-\sqrt{x^2 - x + 1}}
que é um limite de função real em que o numerador tende a -1 e o denominador tende a 0. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização do denominador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1-\sqrt{x^2 - x + 1}, que é 1+\sqrt{x^2 - x + 1}:
\frac{-x-1}{1-\sqrt{x^2 - x + 1}} \;\cdot\; \frac{1+\sqrt{x^2 - x + 1}}{1+\sqrt{x^2 - x + 1}} \;=\; \frac{(-x-1)\bigl(1+\sqrt{x^2 - x + 1}\bigr)}{1-\bigl(x^2 - x + 1\bigr)}.

Passo 3

No denominador simplifica-se
1 - (x^2 - x + 1) \;=\; 1 - x^2 + x - 1 \;=\; x - x^2 \;=\; x(1 - x).
Logo a expressão fica
\frac{(-x-1)\bigl(1+\sqrt{x^2 - x + 1}\bigr)}{x(1 - x)}.

Passo 4

Ao fazermos x\to0^-:
  • O numerador tende a (-0-1)\,(1+\sqrt{1}) = -1\cdot2 = -2.
  • O denominador x(1 - x) tende a 0 com x<0, ou seja, 0^-.
Portanto, a fração comporta-se como \frac{-2}{\,\text{algo negativo muito pequeno}\,}, que diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados