Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}+2 x^{4}+5 x^{5}-1}{4 x^{5}-3 x^{4}-2 x^{2}+x+3}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{3}+2x^{4}+5x^{5}-1}{4x^{5}-3x^{4}-2x^{2}+x+3}
Isso é um caso de limite de função racional em que o grau do polinômio no numerador e no denominador é o mesmo (grau 5). Para resolver, vamos dividir todos os termos pelo maior grau de x, que é x^{5}.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por x^{5}, temos
\frac{3x^{3}+2x^{4}+5x^{5}-1}{4x^{5}-3x^{4}-2x^{2}+x+3} = \frac{\frac{3x^{3}}{x^{5}}+\frac{2x^{4}}{x^{5}}+\frac{5x^{5}}{x^{5}}-\frac{1}{x^{5}}} {\frac{4x^{5}}{x^{5}}-\frac{3x^{4}}{x^{5}}-\frac{2x^{2}}{x^{5}}+\frac{x}{x^{5}}+\frac{3}{x^{5}}} = \frac{3/x^{2}+2/x+5-1/x^{5}}{4-3/x-2/x^{3}+1/x^{4}+3/x^{5}}.

Passo 3

Ao fazer x\to\infty, todos os termos que contêm 1/x^{k} (com k>0) tendem a zero. Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{3/x^{2}+2/x+5-1/x^{5}}{4-3/x-2/x^{3}+1/x^{4}+3/x^{5}} =\frac{5}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}

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