Determine as assíntotas verticais e horizontais (se existirem) das funções abaixo:
y=\frac{1}{x^{2}-1};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
y = \frac{1}{x^{2} - 1}.
Para isso vamos usar:
  1. Zeros do denominador para possíveis assíntotas verticais e estudo de limites laterais nesses pontos.
  2. Limite da função quando x \to \pm\infty para verificar assíntota horizontal.

Passo 2

Identificamos as possíveis assíntotas verticais resolvendo
x^{2} - 1 = 0
que dá
x = 1 \quad\text{e}\quad x = -1.
Como o numerador é 1, não se anula em x=\pm1, esses pontos são candidatos a assíntotas verticais.

Passo 3

Vamos checar o comportamento em x=1 e em x=-1:
  1. Quando x\to1^{-}, x^{2}-1\to0^{-} e assim
y = \frac{1}{x^{2}-1}\;\longrightarrow\; -\infty.
Quando x\to1^{+}, x^{2}-1\to0^{+} e
y = \frac{1}{x^{2}-1}\;\longrightarrow\; +\infty.
Logo x=1 é assíntota vertical.
  1. Quando x\to(-1)^{-}, x^{2}-1\to0^{+} e
y = \frac{1}{x^{2}-1}\;\longrightarrow\; +\infty.
Quando x\to(-1)^{+}, x^{2}-1\to0^{-} e
y = \frac{1}{x^{2}-1}\;\longrightarrow\; -\infty.
Logo x=-1 também é assíntota vertical.

Passo 4

Para a assíntota horizontal, analisamos
\lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{x^{2}-1}.
Como o grau do denominador ( 2) é maior que o do numerador ( 0), temos
\lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{x^{2}-1} = 0,
logo há assíntota horizontal em y=0.

Resposta

As assíntotas da função são:
x = 1 e x = -1 (verticais)
y = 0 (horizontal).

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