Nome:
Se C é o círculo |z|=1 com a orientação anti-horária, calcule integralC e^i pi cdot z2 z^2-5 z+2 d z
a) -4 pi / 3
b) 2 pi / 3
c) 4 pi cdot i
d) 0
e) pi cdot i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais no plano complexo. A gente tem que calcular a integral de uma função racional envolvendo exponenciais complexas ao longo de um círculo de raio 1, orientado anti-horário. Para isso, vamos precisar usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para calcular integrais de funções que têm singularidades (ou “pólos”) dentro do caminho de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função que estamos integrando. A função é:
e^i pi z2 z^2 - 5 z + 2
Os pólos são os valores de $ z $ que tornam o denominador zero. Então, vamos resolver a equação:
z

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
z = 5 pm raiz25 - 164 = 5 pm 34
Isso nos dá dois pólos:
z = 2 e z = 12

Passo 4

Agora, precisamos ver quais desses pólos estão dentro do círculo $ |z| = 1 $. Calculando os módulos:
|z| = 1
Só o pólo em $ z = \frac{1}{2} $ está dentro do nosso caminho de integração.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo da função no pólo $ z = \frac{1}{2} $. O resíduo é basicamente o coeficiente de $ \frac{1}{z - z_0} $ na expansão em frações parciais da função.
Primeiro, derivamos o denominador:
z = 12
Avaliado em $ z = \frac{1}{2} $:
1z - z0
Então, o resíduo é:
ddz(2 z^2 - 5 z + 2) = 4 z - 5

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a $ 2 \pi i $ vezes a soma dos resíduos dentro do caminho de integração. Como temos apenas um resíduo:
2 pi i

Resposta

A resposta correta é a letra b) $ \frac{2 \pi}{3} $.

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