Nome:
Se
é o círculo
com a orientação anti-horária, calcule
a)
b)
c)
d) 0
e)
.
Se
a)
b)
c)
d) 0
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais no plano complexo. A gente tem que calcular a integral de uma função racional envolvendo exponenciais complexas ao longo de um círculo de raio 1, orientado anti-horário. Para isso, vamos precisar usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para calcular integrais de funções que têm singularidades (ou “pólos”) dentro do caminho de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pólos da função que estamos integrando. A função é:
Os pólos são os valores de $ z $ que tornam o denominador zero. Então, vamos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática:
Isso nos dá dois pólos:
Passo 4
Agora, precisamos ver quais desses pólos estão dentro do círculo $ |z| = 1 $. Calculando os módulos:
Só o pólo em $ z = \frac{1}{2} $ está dentro do nosso caminho de integração.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo da função no pólo $ z = \frac{1}{2} $. O resíduo é basicamente o coeficiente de $ \frac{1}{z - z_0} $ na expansão em frações parciais da função.
Primeiro, derivamos o denominador:
Avaliado em $ z = \frac{1}{2} $:
Então, o resíduo é:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a $ 2 \pi i $ vezes a soma dos resíduos dentro do caminho de integração. Como temos apenas um resíduo:
Resposta
A resposta correta é a letra b) $ \frac{2 \pi}{3} $.