Calcule os limites abaixo: lim x -1 1-x^2x+raiz2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -1 1-x^2x+raiz2+x. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente quando substituímos o valor que x está tendendo e acabamos com uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e manipular algebras para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = -1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
1 - (-1)^2-1 + raiz2 + (-1) = 1 - 1-1 + raiz1 = 0-1 + 1 = 00
Obtemos a forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar simplificando o numerador 1 - x^2. Podemos fatorar essa expressão usando a diferença de quadrados:
1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)
Portanto, a expressão original fica:
(1 - x)(1 + x)x + raiz2 + x

Passo 4

Agora, precisamos simplificar o denominador x + raiz2 + x. Para eliminar a raiz, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador, que é x - raiz2 + x:
(1 - x)(1 + x)x + raiz2 + x times x - raiz2 + xx - raiz2 + x = (1 - x)(1 + x)(x - raiz2 + x)(x + raiz2 + x)(x - raiz2 + x)

Passo 5

Simplificando o denominador usando a identidade (a + b)(a - b) = a^2 - b^2:
(x + raiz2 + x)(x - raiz2 + x) = x^2 - (2 + x) = x^2 - x - 2
Então, temos:
(1 - x)(1 + x)(x - raiz2 + x)x^2 - x - 2

Passo 6

Vamos fatorar o denominador x^2 - x - 2. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Agora, nossa expressão fica:
(1 - x)(1 + x)(x - raiz2 + x)(x - 2)(x + 1)
Podemos simplificar (1 + x) no numerador e denominador:
(1 - x)(x - raiz2 + x)x - 2
Além disso, observe que 1 - x = -(x - 1), então:
-(x - 1)(x - raiz2 + x)x - 2

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite quando x -1. Substituindo x = -1 na expressão simplificada:
-(-1 - 1)(-1 - raiz2 + (-1))-1 - 2 = -(-2)(-1 - raiz1)-3 = -(-2)(-1 - 1)-3 = -(-2)(-2)-3 = -4-3 = 43

Resposta

O limite é 43.

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