Calcule os limites abaixo:
  1. lim x +infty(3 x^3+4 x^2-1)
  2. lim t +infty t+1t^2+1
  3. lim t +infty t^2-2 t+32 t^2+5 t-3
  4. lim x -infty 3 x^5-x^2+72-x^2
  5. lim x +infty x raizx-13 x-1
  6. lim t -infty raizx^2+1x+1
  7. lim x +infty x(raizx^2-1-x)
  8. lim x -infty 5 x^3-x^2+x-1x^4+x^3-x+1
  9. lim x -infty raiz2 x^2-7x+3
  10. lim t +infty raiz[3]3 t^7-4 t^52 t^7+1
  11. lim x +infty 3-xraiz5+4 x^2
  12. lim x -infty -5 x^3+27 x^3+3
  13. lim x +infty x raizx+3 x-10x^3
  14. lim x +infty x(2 x-7 cos x)3 x^2-5 sin x+1
  15. lim x +infty(raizx^2+1-raizx^2-1)
  16. lim t +infty(raiz3 x^2+2 x+1-raiz2 x)
  17. lim x +infty(raiz16 x^4+15 x^3-2 x+1-2 x)
  18. lim t -infty 3-traiz5+4 t^2
  19. lim x 3^+ xx-3
  20. lim x 3^- xx-3
  21. lim x 2^+ xx^2-4
  22. lim x 2^- xx^2-4
  23. lim x 4^+ 3-xx^2-2 x-8
  24. lim x 4^- 3-xx^2-2 x-8
  25. lim x 3^+ 1|x-3|
  26. lim x 3^- 1|x-3|
  27. lim x 1 (x+2)(raizx-1)x^2+x-2
  28. lim x 0 2-raiz4-xpi x
  29. lim x 1 -1+1 / raizx1-x
  30. lim x 3 x^2-9raiz[3]x-raiz[3]3
  31. lim x 8 raiz7+raiz[3]x-3x-8
  32. lim x 0 raiz[4]x^4+1-raizx^2+1x^2
  33. lim x 5 4-raiz3 x+1x^2-7 x+10
  34. 31 lim x 0^+ raiz2+raiz3-raizx+2-raizx+3raizx

Passo 1

O enunciado pede calcular trinta e quatro limites envolvendo três tipos principais de situação:
  1. Comportamento de polinômios e funções racionais quando xtopminfty.
  2. Limites unilaterais em pontos de descontinuidade vertical (assíntotas).
  3. Limites do tipo 0/0 que exigem fatoração ou racionalização por conjugado.
    Para isso vamos usar:
  • Comparação de graus em funções racionais.
  • Aproximação de radicais no infinito via raizax^2+bsimraiz a,|x|.
  • Multiplicação pelo conjugado para eliminar raízes.
  • Análise de sinais em limites laterais.

Passo 2

Polinômios e racionais no infinito pelo grau.
limxto+infty(3x^3+4x^2-1)=+infty

Passo 3

Funções racionais comparando graus:
limtto+inftyt+1t^2+1=0, limtto+inftyt^2-2t+32t^2+5t-3=tfrac12, limxto-infty3x^5-x^2+72-x^2=-infty

Passo 4

Limites com radicais no infinito usando raizax^2+bsimraiz a,|x|:
limxto+inftyxraizx-13x-1=+infty, limxto-inftyraizx^2+1x+1=-1, limxto-inftyraiz2x^2-7x+3=-raiz2

Passo 5

Expressões do tipo x(raizx^2-1-x) ou diferença de duas raízes no infinito são resolvidas multiplicando pelo conjugado:
limxto+inftyxl(raizx^2-1-xr)=-tfrac12, limxto+inftyl(raizx^2+1-raizx^2-1r)=0

Passo 6

Diferença de raízes de quadráticos e de polinômio de 4º grau no infinito também por conjugado ou fatoração:
limxto+inftyl(raiz3x^2+2x+1-raiz2,xr)=+infty, limxto+inftyl(raiz16x^4+15x^3-2x+1-2xr)=+infty

Passo 7

Raiz ímpar de razão de polinômios no infinito:
limtto+inftyraiz[3]3t^7-4t^52t^7+1 =raiz[3]32

Passo 8

Outros limites no infinito por comparação de termos dominantes:
limxto+infty3-xraiz5+4x^2=-tfrac12, limxto-infty3-traiz5+4t^2=tfrac12,
limxto+inftyxraizx+3x-10x^3=0, limxto+inftyx(2x-7cos x)3x^2-5sin x+1=tfrac23

Passo 9

Funções racionais com deg do numerador menor que o do denominador em pminfty:
limxto-infty5x^3-x^2+x-1x^4+x^3-x+1=0

Passo 10

Funções racionais com graus iguais em pminfty:
limxto-infty-5x^3+27x^3+3=-57

Passo 11

Limites unilaterais com assíntota vertical e análise de sinais:
limxto3^+xx-3=+infty, limxto3^-xx-3=-infty,
limxto2^+xx^2-4=+infty, limxto2^-xx^2-4=-infty,
limxto4^+3-xx^2-2x-8=-infty, limxto4^-3-xx^2-2x-8=+infty,
limxto3^+1|x-3|=+infty, limxto3^-1|x-3|=+infty

Passo 12

Limites do tipo 0/0 por fatoração ou conjugado:
limxto1(x+2)(raizx-1)x^2+x-2=tfrac12,
limxto02-raiz4-xpi x=14pi,
limxto1-1+tfrac1raizx1-x=tfrac12,
limxto3x^2-9raiz[3]x-raiz[3]3 =6cdot3^tfrac53,
limxto8raiz7+raiz[3]x-3x-8=tfrac172,
limxto0raiz[4]x^4+1-raizx^2+1x^2=-tfrac12,
limxto54-raiz3x+1x^2-7x+10=-tfrac18,
limxto0^+raiz2+raiz3-raizx+2-raizx+3raizx=0

Resposta

  1. +infty
  2. 0
  3. tfrac12
  4. -infty
  5. +infty
  6. -1
  7. -tfrac12
  8. 0
  9. -raiz2
  10. raiz[3]tfrac32
  11. -tfrac12
  12. -tfrac57
  13. 0
  14. tfrac23
  15. 0
  16. +infty
  17. +infty
  18. tfrac12
  19. +infty
  20. -infty
  21. +infty
  22. -infty
  23. -infty
  24. +infty
  25. +infty
  26. +infty
  27. tfrac12
  28. tfrac14pi
  29. tfrac12
  30. 6cdot3^tfrac53
  31. tfrac172
  32. -tfrac12
  33. -tfrac18
  34. 0

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