Suponha que uma empresa tem seu lucro
em um dado ano
definido pela EDO:
. Sabendo que o lucro no ano
foi de
milhões
, responder:
a) Em que momento a empresa teve lucro 0 ?
b) Em que momento a empresa multiplicou o lucro do
ano por 10 (se é que isso ocorreu)?
c) Você investiria nessa empresa? Por quê?
a) Em que momento a empresa teve lucro 0 ?
b) Em que momento a empresa multiplicou o lucro do
c) Você investiria nessa empresa? Por quê?
Passo 1
O enunciado dá um lucro L(t) que satisfaz a EDO de primeira ordem linear
e informam
. Precisamos achar: (a) quando
, (b) quando
, e (c) avaliar se vale a pena investir nessa empresa.
Passo 2
Para resolver uma EDO linear da forma
, usamos o fator integrante
. Aqui
, então
Passo 3
Passo 4
Multiplicando a EDO original pelo fator integrante, obtemos
Passo 5
Passo 6
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Passo 7
Passo 8
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 9
Passo 10
Daqui a solução geral é
Passo 11
Passo 12
Para determinar
, usamos a condição inicial
:
Passo 13
Passo 14
Logo a solução particular é
Passo 15
Passo 16
(a) Para ver se o lucro zera, resolvemos
:
Passo 17
Passo 18
Essa equação não tem raízes reais positivas, então o lucro nunca chega a zero.
Passo 19
(b) Queremos
. Resolvendo
Passo 20
Passo 21
buscamos a raiz positiva aproximada por tentativa e erro (ou método numérico) e obtemos
anos.
Passo 22
(c) Como o lucro é sempre positivo e cresce em ordem de
para grandes
, eu investiria nessa empresa: ela nunca zera o lucro e tende a crescer bastante ao longo do tempo.
Resposta
a) O lucro nunca zera (nenhuma solução real positiva). b) O lucro atinge 10 vezes o valor inicial em aproximadamente t
anos. c) Sim, eu investiria, porque o lucro é sempre positivo e cresce rapidamente (ordem cúbica).