Suponha que uma empresa tem seu lucro L em um dado ano t definido pela EDO: L^prime+(1 / t) L=t^2. Sabendo que o lucro no ano 1 foi de 2 milhões (u * l) *(L(1)=2), responder:
a) Em que momento a empresa teve lucro 0 ?
b) Em que momento a empresa multiplicou o lucro do 1^circ ano por 10 (se é que isso ocorreu)?
c) Você investiria nessa empresa? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá um lucro L(t) que satisfaz a EDO de primeira ordem linear L' + 1t L = t^2 e informam L(1)=2. Precisamos achar: (a) quando L=0, (b) quando L=10times L(1)=20, e (c) avaliar se vale a pena investir nessa empresa.

Passo 2

Para resolver uma EDO linear da forma L' + p(t)L = q(t), usamos o fator integrante mu(t)=e^integral p(t),dt. Aqui p(t)=1/t, então

Passo 3

mu(t)=e^integraltfrac1t,dt=e^ln t=t

Passo 4

Multiplicando a EDO original pelo fator integrante, obtemos

Passo 5

tL' + L = tcdot t^2 = t^3

Passo 6

Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto tL:

Passo 7

ddt(tL)=t^3

Passo 8

Agora integramos ambos os lados em relação a t:

Passo 9

tL=integral t^3,dt=t^44+C

Passo 10

Daqui a solução geral é

Passo 11

L(t)=t^4/4 + Ct=t^34+Ct

Passo 12

Para determinar C, usamos a condição inicial L(1)=2:

Passo 13

2=1^34+C1=14+Cimplies C=2-tfrac14=tfrac74

Passo 14

Logo a solução particular é

Passo 15

L(t)=t^34+74t

Passo 16

(a) Para ver se o lucro zera, resolvemos L(t)=0:

Passo 17

t^34+74t=0implies t^4+7=0

Passo 18

Essa equação não tem raízes reais positivas, então o lucro nunca chega a zero.

Passo 19

(b) Queremos L(t)=20. Resolvendo

Passo 20

t^4+74t=20implies t^4-80t+7=0,

Passo 21

buscamos a raiz positiva aproximada por tentativa e erro (ou método numérico) e obtemos tapprox4,28 anos.

Passo 22

(c) Como o lucro é sempre positivo e cresce em ordem de t^3 para grandes t, eu investiria nessa empresa: ela nunca zera o lucro e tende a crescer bastante ao longo do tempo.

Resposta

a) O lucro nunca zera (nenhuma solução real positiva). b) O lucro atinge 10 vezes o valor inicial em aproximadamente t approx4,28 anos. c) Sim, eu investiria, porque o lucro é sempre positivo e cresce rapidamente (ordem cúbica).

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