Sabemos que o potencial eletrostático de um dipolo é dado por
varphidip(r)=14 pi varepsilon0 p cdot err^2
(a) Mostre que o campo elétrico para este potencial (assumindo que p esteja na origem e aponte na direção +ez ), em coordenadas esféricas, é dado por
Edip(r)=p4 pi varepsilon0 r^3(2 cos theta er+sin theta etheta)
(b) Mostre que a expressão do campo elétrico do item anterior pode ser escrito como
Edip(r)=14 pi varepsilon0 r^3[3(p cdot er) er-p]
ou seja, de uma forma independente de coordenadas. (Dica: decomponha o vetor dipolo: p=(p cdot er) er+ (p cdot etheta) etheta+(p cdot ephi) ephi=p cos theta er-p sin theta etheta, e use esse resultado para mostrar as igualdades vetoriais acima.)

Passo 1

A questão pede para obter o campo elétrico de um dipolo a partir do potencial varphidip(r)=14pivarepsilon0vec pcdothat err^2, assumindo que vec p=p,hat ez. Vamos usar que vec E=-nablavarphi e o operador gradiente em coordenadas esféricas dependendo só de r e theta:
nablavarphi=partialvarphipartial r,hat er+1rpartialvarphipartialtheta,hat etheta

Passo 2

Como varphi=tfrac14pivarepsilon0,tfracpcosthetar^2, calculamos:
partialvarphipartial r=-24pivarepsilon0pcosthetar^3,
partialvarphipartialtheta=-14pivarepsilon0psinthetar^2

Passo 3

Substituindo em vec E=-nablavarphi e lembrando do fator 1/r no termo theta:
Er=-partialvarphipartial r=2pcostheta4pivarepsilon0,r^3,
Etheta=-1rpartialvarphipartialtheta=psintheta4pivarepsilon0,r^3
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vec Edip(r)=p4pivarepsilon0,r^3l(2costheta,hat er+sintheta,hat ethetar),

Passo 4

Para escrever de forma independente de coordenadas, decompomos o vetor dipolo em base esférica:
vec p=(vec pcdothat er),hat er+(vec pcdothat etheta),hat etheta+(vec pcdothat ephi),hat ephi
Como vec p=p,hat ez=p(costheta,hat er-sintheta,hat etheta), temos
vec pcdothat er=pcostheta e vec pcdothat etheta=-psintheta.

Passo 5

Construindo agora
3(vec pcdothat er),hat er-vec p=3pcostheta,hat er-p(costheta,hat er-sintheta,hat etheta)=p(2costheta,hat er+sintheta,hat etheta)
e, inserindo em vec E, obtemos a forma vetorial:
vec Edip(r)=14pivarepsilon0,r^3l[3(vec pcdothat er),hat er-vec pr]

Resposta

vec Edip(r)=p4pivarepsilon0,r^3l(2costheta,hat er+sintheta,hat ethetar)
vec Edip(r)=14pivarepsilon0,r^3l[3(vec pcdothat er),hat er-vec pr]

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