Sabemos que o potencial eletrostático de um dipolo é dado por
(a) Mostre que o campo elétrico para este potencial (assumindo que
esteja na origem e aponte na direção
), em coordenadas esféricas, é dado por
(b) Mostre que a expressão do campo elétrico do item anterior pode ser escrito como
ou seja, de uma forma independente de coordenadas. (Dica: decomponha o vetor dipolo:
, e use esse resultado para mostrar as igualdades vetoriais acima.)
Passo 1
A questão pede para obter o campo elétrico de um dipolo a partir do potencial
, assumindo que
. Vamos usar que
e o operador gradiente em coordenadas esféricas dependendo só de
e
:
Passo 2
Como
, calculamos:
Passo 3
Substituindo em
e lembrando do fator
no termo
:
Logo
Passo 4
Para escrever de forma independente de coordenadas, decompomos o vetor dipolo em base esférica:
Como
, temos
e
.
Passo 5
Construindo agora
e, inserindo em
, obtemos a forma vetorial: