Calcule os limites abaixo:
lim x +infty x raizx-13 x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyxraizx-13x-1
O conteúdo aqui é analisar o comportamento assintótico de termos polinomiais não inteiros (o numerador cresce como x^3/2) e identificar o termo dominante no quociente.

Passo 2

Observamos que
xraizx=x^3/2,
então para x muito grande o numerador se comporta como x^3/2 (o “ -1” é desprezível) e o denominador se comporta como 3x (o “ -1” também é desprezível). Logo, de modo informal,
xraizx-13x-1approxx^3/23x=13,x^1/2,
que tende a +infty quando xto+infty.

Passo 3

Para ver isso de forma mais rigorosa, fazemos a fatoração
xraizx-13x-1 =x^3/2l(1 - x^-3/2r)xl(3 - x^-1r) =x^1/2,1 - x^-3/23 - x^-1

Passo 4

Agora, ao deixarmos xto+infty, temos
1 - x^-3/2to1, 3 - x^-1to3, x^1/2to+infty
Portanto
1 - x^-3/23 - x^-1to13 e x^1/2to+infty,
de onde concluímos que o produto diverge para +infty.

Resposta

+infty

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