Use a Definição 7.1.1 para determinar .

Passo 1

O enunciado define a função em partes
f(t)= sin t,&0<= t<pi, 0,&t>=pi,
e pede a transformada de Laplace, cujo conceito (Definição 7.1.1) é
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt

Passo 2

Como f(t)=0 para t>=pi, o integral de 0 a infty reduz-se a
Lf(t)(s)=integral0^pisin t,e^-st,dt

Passo 3

Para calcular
integralsin t,e^-st,dt
usa-se integração por partes ou reconhece-se a fórmula padrão. O resultado geral é
integralsin t,e^-st,dt =-e^-sts^2+1l(ssin t+cos tr)+C

Passo 4

Avalia-mos de 0 a pi:
integral0^pisin t,e^-st,dt =[-e^-sts^2+1(ssin t+cos t)]0^pi =e^-spi+1s^2+1

Resposta

Lf(t)(s)=1+e^-spis^2+1

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