Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
f(x)=1(x^2-1) ; f^prime(x)+2 x f^2(x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de equações diferenciais. A gente precisa verificar se a função f(x) = 1x^2 - 1 resolve a equação diferencial f^prime(x) + 2x f^2(x) = 0 . Para fazer isso, vamos precisar calcular a derivada de f(x) , substituir na equação e ver se tudo bate. Além disso, também vamos determinar em quais valores de x essa função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f(x) . A função é f(x) = 1x^2 - 1 . Para derivar isso, usamos a regra da derivada de uma função no formato 1g(x) , que é -g^prime(x)g(x)^2 . Aqui, g(x) = x^2 - 1 , então g^prime(x) = 2x . Aplicando a regra:
f^prime(x) = -2x(x^2 - 1)^2

Passo 3

Agora, vamos substituir f(x) e f^prime(x) na equação diferencial e ver se a equação se iguala a zero. A equação é:
f^prime(x) + 2x f^2(x) = 0
Substituindo:
-2x(x^2 - 1)^2 + 2x ( 1x^2 - 1 )^2 = 0
Vamos simplificar o segundo termo:
2x ( 1x^2 - 1 )^2 = 2x cdot 1(x^2 - 1)^2 = 2x(x^2 - 1)^2
Então temos:
-2x(x^2 - 1)^2 + 2x(x^2 - 1)^2 = 0
Claro que isso dá:
0 = 0
Então, a função f(x) realmente satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos determinar onde a função está definida. Olhando para f(x) = 1x^2 - 1 , o denominador x^2 - 1 não pode ser zero, ou seja:
x^2 - 1 neq 0 Rightarrow x neq pm 1
Então, a função está definida para todos os x reais, exceto x = 1 e x = -1 . Ou seja, o intervalo de definição é:
x in R setminus -1, 1

Resposta

Sim, a função f(x) = 1x^2 - 1 é uma solução da equação diferencial dada. Ela está definida para todos os números reais exceto x = 1 e x = -1 .

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