Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de equações diferenciais. A gente precisa verificar se a função
resolve a equação diferencial
. Para fazer isso, vamos precisar calcular a derivada de
, substituir na equação e ver se tudo bate. Além disso, também vamos determinar em quais valores de
essa função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função é
. Para derivar isso, usamos a regra da derivada de uma função no formato
, que é
. Aqui,
, então
. Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial e ver se a equação se iguala a zero. A equação é:
Substituindo:
Vamos simplificar o segundo termo:
Então temos:
Claro que isso dá:
Então, a função
realmente satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos determinar onde a função está definida. Olhando para
, o denominador
não pode ser zero, ou seja:
Então, a função está definida para todos os
reais, exceto
e
. Ou seja, o intervalo de definição é:
Resposta
Sim, a função
é uma solução da equação diferencial dada. Ela está definida para todos os números reais exceto
e
.