Determine o valor de [L) para que a função definida por:
seja contínua no ponto (x=1]. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A função f(x) é definida de duas formas:
Para qualquer valor de x diferente de 1, f(x) = x^2 - 1x - 1 .
Para x = 1 , f(x) = L .
Queremos encontrar o valor de L que faz com que a função f(x) seja contínua no ponto x = 1 .
Matéria envolvida: Continuidades de funções e limites.
O que precisamos: Calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 e escolher L para que o valor da função em x = 1 seja igual a esse limite, garantindo assim a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 1. Isso significa que queremos saber qual valor f(x) está se aproximando quando x fica muito perto de 1, mas sem ser exatamente 1.
limx to 1 f(x) = limx to 1 x^2 - 1x - 1
Passo 3
Observamos que a expressão x^2 - 1x - 1 pode ser simplificada. Vamos fatorar o numerador:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, substituindo na expressão original:
(x - 1)(x + 1)x - 1
Passo 4
Agora, percebemos que (x - 1) está presente no numerador e no denominador, podendo ser cancelado (desde que x neq 1 , o que já está definido no enunciado):
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1
Então, o limite simplifica para:
limx to 1 (x + 1)
Passo 5
Agora, é simples calcular esse limite substituindo x por 1:
limx to 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2
Passo 6
Para que a função f(x) seja contínua em x = 1 , o valor de f(1) precisa ser igual ao limite que acabamos de calcular. Ou seja:
f(1) = L = 2
Resposta
O valor de L que torna a função contínua no ponto x = 1 é L = 2 .