Calcule os limites abaixo: lim x 0 raiz[x^2+1]3-cos (2 x)=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Aqui estamos lidando com cálculo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de potências e séries de Taylor para aproximar as funções quando está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da raiz. A expressão raiz[x^2+1]3 = 3^1x^2+1 pode ser reescrita como uma potência:
3^1x^2+1 approx 3^1 = 3
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então o expoente se aproxima de 1. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da expressão: cos(2x) approx 1 - (2x)^22 = 1 - 2x^2 . Sabemos que quando se aproxima de 0, podemos usar a série de Taylor para aproximar o cosseno:
Isso porque os termos de ordem superior ( , , etc.) se tornam negligenciáveis quando está muito próximo de 0.

Passo 4

Agora, vamos substituir as aproximações na expressão original:
raiz[x^2+1]3 - cos(2x) approx 3 - (1 - 2x^2) = 3 - 1 + 2x^2 = 2 + 2x^2
Quando 2 + 0 = 2 tende a 0, o termo também tende a 0. Portanto, a expressão simplifica-se para:

Resposta

O limite é igual a 2.

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