Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Aqui estamos lidando com cálculo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de potências e séries de Taylor para aproximar as funções quando
está próximo de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte da raiz. A expressão
pode ser reescrita como uma potência:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, então o expoente
se aproxima de 1. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da expressão:
. Sabemos que quando
se aproxima de 0, podemos usar a série de Taylor para aproximar o cosseno:
Isso porque os termos de ordem superior (
,
, etc.) se tornam negligenciáveis quando
está muito próximo de 0.
Passo 4
Agora, vamos substituir as aproximações na expressão original:
Quando
tende a 0, o termo
também tende a 0. Portanto, a expressão simplifica-se para:
Resposta
O limite é igual a 2.