Esboce as curvas de nível das funções: z = y - x^2, nos níveis k = 0 e k=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos as curvas de nível da função para os níveis e . Isso faz parte do conteúdo de Geometria Analítica e Funções de Várias Variáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Elas são as linhas no plano onde a função tem um valor constante, ou seja, . Então, para cada valor de , a gente tem uma curva que mostra todos os pontos que satisfazem essa condição.

Passo 3

Vamos começar com o nível . A gente substitui por 0 na equação da função:
Agora, vamos resolver para :
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, com vértice na origem do sistema de coordenadas.

Passo 4

Agora, vamos para o nível . Substituímos por 1 na equação da função:
Resolvendo para :
Essa também é uma parábola que abre para cima, mas dessa vez o vértice está deslocado 1 unidade para cima no eixo .

Passo 5

Com as equações das curvas de nível em mãos, vamos esboçá-las no plano . A primeira parábola começa na origem, enquanto a segunda está exatamente 1 unidade acima. Ambas têm a mesma forma, apenas com posições verticais diferentes.

Resposta

As curvas de nível da função são:
  • Para :
  • Para :
Essas são parábolas que abrem para cima, com a segunda deslocada 1 unidade acima da primeira no plano .

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