Esboce as curvas de nível das funções:
, nos níveis
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos as curvas de nível da função
para os níveis
e
. Isso faz parte do conteúdo de Geometria Analítica e Funções de Várias Variáveis. Para resolver, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Elas são as linhas no plano
onde a função
tem um valor constante, ou seja,
. Então, para cada valor de
, a gente tem uma curva que mostra todos os pontos
que satisfazem essa condição.
Passo 3
Vamos começar com o nível
. A gente substitui
por 0 na equação da função:
Agora, vamos resolver para
:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, com vértice na origem do sistema de coordenadas.
Passo 4
Agora, vamos para o nível
. Substituímos
por 1 na equação da função:
Resolvendo para
:
Essa também é uma parábola que abre para cima, mas dessa vez o vértice está deslocado 1 unidade para cima no eixo
.
Passo 5
Com as equações das curvas de nível em mãos, vamos esboçá-las no plano
. A primeira parábola
começa na origem, enquanto a segunda
está exatamente 1 unidade acima. Ambas têm a mesma forma, apenas com posições verticais diferentes.
Resposta
As curvas de nível da função
são:
- Para
: - Para
:
Essas são parábolas que abrem para cima, com a segunda deslocada 1 unidade acima da primeira no plano
.