Determine o limite das funções trigonométricas, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}^{2}(x)}{x}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular
\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{2}(x)}{x}.
Informações relevantes fornecidas (implícitas):
  • A variável x tende a 0 (assume-se medida em radianos).
  • Quer-se saber se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 2

Transformar a expressão usando identidades trigonométricas conhecidas. Lembrando que \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}, então
\frac{\tan^{2}(x)}{x}=\frac{\sin^{2}(x)}{x\cos^{2}(x)}.
Esta forma costuma ser mais fácil de trabalhar porque envolve \sin(x) e \cos(x), cujos limites em 0 são bem conhecidos.

Passo 3

Reescrever a expressão como um produto de fatores cujo limite é mais fácil de avaliar:
\frac{\sin^{2}(x)}{x\cos^{2}(x)} = \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\cdot\left(\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}\right).
A ideia now é avaliar os limites de cada fator separadamente e usar que o limite do produto (quando ambos existem e são finitos) é o produto dos limites.

Passo 4

Lembrar e justificar o limite padrão \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1. Um esboço da prova (geometria / desigualdades clássicas):
  • Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade \cos(x)\le \dfrac{\sin(x)}{x}\le 1.
  • Como \lim_{x\to 0}\cos(x)=1 e o lado superior é 1, pelo Teorema do Confronto (squeeze) obtém-se \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1.
    Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1.

Passo 5

Avaliar o segundo fator \dfrac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)} quando x\to 0. Usar que \lim_{x\to 0}\sin(x)=0 e \lim_{x\to 0}\cos(x)=1, logo \lim_{x\to 0}\cos^{2}(x)=1. Sendo o numerador tendendo a 0 e o denominador tendendo a 1, pelo limite de quociente tem-se
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=0.

Passo 6

Combinar os resultados usando que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem e são finitos). Temos
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}\right)=0,
portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\tan^{2}(x)}{x} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}\right) =1\cdot 0=0.

Resposta

0

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