Determine o limite das funções trigonométricas, se existirem:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular
Informações relevantes fornecidas (implícitas):
- A variável
tende a (assume-se medida em radianos). - Quer-se saber se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor.
Passo 2
Transformar a expressão usando identidades trigonométricas conhecidas. Lembrando que
, então
Esta forma costuma ser mais fácil de trabalhar porque envolve
e
, cujos limites em
são bem conhecidos.
Passo 3
Reescrever a expressão como um produto de fatores cujo limite é mais fácil de avaliar:
A ideia now é avaliar os limites de cada fator separadamente e usar que o limite do produto (quando ambos existem e são finitos) é o produto dos limites.
Passo 4
Lembrar e justificar o limite padrão
. Um esboço da prova (geometria / desigualdades clássicas):
- Para
vale a desigualdade . - Como
e o lado superior é , pelo Teorema do Confronto (squeeze) obtém-se .
Portanto
Passo 5
Avaliar o segundo fator
quando
. Usar que
e
, logo
. Sendo o numerador tendendo a
e o denominador tendendo a
, pelo limite de quociente tem-se
Passo 6
Combinar os resultados usando que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem e são finitos). Temos
portanto
Resposta
0