Determine todas as assíntotas verticais das funções abaixo:
g(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-6}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as assíntotas verticais da função
g(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-6}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão de polinômios: numerador x^{2}-1 e denominador x^{2}+x-6.
  • Assíntotas verticais ocorrem em pontos onde o denominador se anula, exceto quando esse zero é “cancelado” por um fator comum com o numerador (nesse caso haveria uma furo, não assíntota).
  • A tarefa é listar todos os valores de x que são assíntotas verticais.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (explicada devagarinho):
  • Dizemos que x=a é uma assíntota vertical de g(x) se, ao nos aproximarmos de a pela esquerda ou pela direita, g(x) tende para +\infty ou -\infty. Em linguagem prática: o denominador vai para 0 enquanto o numerador tende para um número diferente de zero, de modo que a razão “explode”.
  • Procedimento para encontrar essas a:
    1. fatorar numerador e denominador;
    2. verificar zeros do denominador;
    3. checar se algum desses zeros é eliminado por fator comum com o numerador (se eliminar => furo, não assíntota);
    4. para os zeros restantes, analisar os limites laterais para confirmar que o valor da função vai para \pm\infty.

Passo 3

Fatoração do numerador. Vamos fatorar x^{2}-1 usando a diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 4

Fatoração do denominador. Procuramos fatores de x^{2}+x-6. Podemos fatorar tentando dois números cuja soma seja 1 e produto -6: esses números são 3 e -2. Assim
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).

Passo 5

Reescrevendo a função com as fatorações:
g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+3)(x-2)}.
Comparando fatores do numerador e do denominador vemos que não há fator comum (ou seja, nenhum dos fatores (x-1) ou (x+1) coincide com (x+3) ou (x-2)). Logo não há cancelamento: os zeros do denominador são candidatos reais a assíntotas verticais.

Passo 6

Determinar os zeros do denominador explicitamente (já vistos na fatoração):
(x+3)(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3 \\ \text{ou}\\ x=2.
Esses são os pontos onde o denominador zera. Para decidir se cada ponto é assíntota vertical, verificamos o valor do numerador nesses pontos e o comportamento dos limites laterais.

Passo 7

Verificação de x=2.
  • Calcular o numerador em x=2:
(2)^{2}-1=4-1=3\neq 0.
Portanto o numerador tende para 3 (valor finito diferente de zero) quando x\to 2.
  • Analisar o sinal do denominador perto de 2. Usamos os fatores:
    • (x+3) em x\approx 2 é 5, positivo;
    • (x-2) muda de sinal em 2: é negativo para x<2 e positivo para x>2.
  • Consequências para a razão:
    • Se x\to2^{-}: denominador (x+3)(x-2) é +\times(-)= pequeno negativo \Rightarrow g(x)\approx \dfrac{3}{\text{pequeno negativo}}\to -\infty.
    • Se x\to2^{+}: denominador é +\times(+)= pequeno positivo \Rightarrow g(x)\approx \dfrac{3}{\text{pequeno positivo}}\to +\infty.
  • Conclusão: existem limites unilaterais que divergem para \pm\infty, portanto x=2 é uma assíntota vertical.

Passo 8

Verificação de x=-3.
  • Calcular o numerador em x=-3:
(-3)^{2}-1=9-1=8\neq 0.
Assim o numerador tende para 8 (valor finito não nulo) quando x\to -3.
  • Analisar o sinal do denominador perto de -3. Usamos os fatores:
    • (x+3) muda de sinal em -3: é negativo para x<-3 e positivo para x>-3;
    • (x-2) em x\approx -3 vale -5, negativo.
  • Consequências para a razão:
    • Se x\to(-3)^{-} (pela esquerda): (x+3)<0 pequeno e (x-2)<0 então denominador (x+3)(x-2)=(-)\times(-)= pequeno positivo \Rightarrow g(x)\approx \dfrac{8}{\text{pequeno positivo}}\to +\infty.
    • Se x\to(-3)^{+} (pela direita): (x+3)>0 pequeno e (x-2)<0 então denominador (x+3)(x-2)=(+)\times(-)= pequeno negativo \Rightarrow g(x)\approx \dfrac{8}{\text{pequeno negativo}}\to -\infty.
  • Conclusão: os limites unilaterais divergem em sinais opostos, logo x=-3 é assíntota vertical.

Passo 9

Resumo e interpretação final:
  • Ambos os zeros do denominador, x=2 e x=-3, são pontos onde o numerador assume valores finitos diferentes de zero e, ao nos aproximarmos desses pontos, a função diverge para \pm\infty. Portanto ambos são assíntotas verticais da função g(x).

Resposta

x=2
x=-3

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