Determine todas as assíntotas verticais das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as assíntotas verticais da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - Assíntotas verticais ocorrem em pontos onde o denominador se anula, exceto quando esse zero é “cancelado” por um fator comum com o numerador (nesse caso haveria uma furo, não assíntota).
- A tarefa é listar todos os valores de
que são assíntotas verticais.
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explicada devagarinho):
- Dizemos que
é uma assíntota vertical de se, ao nos aproximarmos de pela esquerda ou pela direita, tende para ou . Em linguagem prática: o denominador vai para enquanto o numerador tende para um número diferente de zero, de modo que a razão “explode”. - Procedimento para encontrar essas
: - fatorar numerador e denominador;
- verificar zeros do denominador;
- checar se algum desses zeros é eliminado por fator comum com o numerador (se eliminar => furo, não assíntota);
- para os zeros restantes, analisar os limites laterais para confirmar que o valor da função vai para
.
Passo 3
Fatoração do numerador. Vamos fatorar
usando a diferença de quadrados:
Passo 4
Fatoração do denominador. Procuramos fatores de
. Podemos fatorar tentando dois números cuja soma seja
e produto
: esses números são
e
. Assim
Passo 5
Reescrevendo a função com as fatorações:
Comparando fatores do numerador e do denominador vemos que não há fator comum (ou seja, nenhum dos fatores
ou
coincide com
ou
). Logo não há cancelamento: os zeros do denominador são candidatos reais a assíntotas verticais.
Passo 6
Determinar os zeros do denominador explicitamente (já vistos na fatoração):
Esses são os pontos onde o denominador zera. Para decidir se cada ponto é assíntota vertical, verificamos o valor do numerador nesses pontos e o comportamento dos limites laterais.
Passo 7
Verificação de
.
- Calcular o numerador em
:
Portanto o numerador tende para
(valor finito diferente de zero) quando
.
- Analisar o sinal do denominador perto de
. Usamos os fatores: -
em é , positivo; -
muda de sinal em : é negativo para e positivo para .
-
- Consequências para a razão:
- Se
: denominador é pequeno negativo - Se
: denominador é pequeno positivo
- Se
- Conclusão: existem limites unilaterais que divergem para
, portanto é uma assíntota vertical.
Passo 8
Verificação de
.
- Calcular o numerador em
:
Assim o numerador tende para
(valor finito não nulo) quando
.
- Analisar o sinal do denominador perto de
. Usamos os fatores: -
muda de sinal em : é negativo para e positivo para ; -
em vale , negativo.
-
- Consequências para a razão:
- Se
(pela esquerda): pequeno e então denominador pequeno positivo - Se
(pela direita): pequeno e então denominador pequeno negativo
- Se
- Conclusão: os limites unilaterais divergem em sinais opostos, logo
é assíntota vertical.
Passo 9
Resumo e interpretação final:
- Ambos os zeros do denominador,
e , são pontos onde o numerador assume valores finitos diferentes de zero e, ao nos aproximarmos desses pontos, a função diverge para . Portanto ambos são assíntotas verticais da função .