Determine todas as assíntotas verticais das funções abaixo: f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-4}
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as assíntotas verticais da função
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-4}.
Informações dadas e pontos importantes do enunciado:
A função está escrita como quociente de um numerador x+1 e um denominador x^{2}-4.
Pontos potencialmente problemáticos (onde a função pode não estar definida) são as raízes do denominador, isto é os x tais que x^{2}-4=0.
O pedido é: listar todas as assíntotas verticais, ou seja, todos os valores a onde f(x) tende para +\infty ou -\infty quando x\to a por algum lado.
Passo 2
O que é uma assíntota vertical (explicação didática e prática)?
Definição: dizemos que a reta x=a é uma assíntota vertical de f se, ao nos aproximarmos de a pela esquerda ou pela direita, a função diverge para infinito em módulo. Em símbolos:
Teste prático muito útil: se o denominador tende a 0 em x=a enquanto o numerador tende a um número finito e diferente de 0, então a fração tende a \pm\infty (a depender dos sinais) e normalmente x=a será assíntota vertical. Se o numerador também tende a 0, pode acontecer cancelamento (removível) ou comportamento infinito — nesse caso precisa de análise mais detalhada.
Passo 3
Aplicando a ideia prática: vamos achar os pontos onde o denominador se anula (candidatos a assíntota).
O denominador é x^{2}-4. Vamos fatorá‑lo:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
As raízes do denominador são x=2 e x=-2. Esses são os pontos que precisamos analisar com cuidado (são os únicos pontos onde a função pode não estar definida).
Passo 4
Verificar o numerador nesses pontos (para saber se há cancelamento ou não).
Avaliando o numerador (x+1) em x=2:
x+1\Big|_{x=2}=2+1=3\neq0.
Avaliando o numerador em x=-2:
x+1\Big|_{x=-2}=-2+1=-1\neq0.
Como o numerador não se anula em nenhum desses pontos, não há cancelamento de fatores: a situação típica ocorre — denominador tende a 0 enquanto numerador tende a uma constante não nula — o que sugere assíntotas verticais em x=2 e x=-2. Para ficar totalmente rigoroso (e para aprender a fazer na prova), vamos calcular os limites laterais e ver o comportamento de f perto desses pontos.
Passo 5
Limites laterais em x=2 (análise detalhada e didática).
Reescrevendo f(x) de modo a isolar o fator que vai a zero em x=2:
Ao aproximar x de -2, o fator \dfrac{x+1}{x-2} tende a \dfrac{-1}{-4}=\dfrac{1}{4} porque x+1\to-1 e x-2\to-4. Assim, para x perto de -2,
f(x)\approx \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}.
Portanto:
\displaystyle \lim_{x\to -2^+} f(x)=\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to -2^+}\frac{1}{x+2}=+\infty (pois x+2>0 e pequeno, 1/(x+2)\to+\infty).
\displaystyle \lim_{x\to -2^-} f(x)=\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to -2^-}\frac{1}{x+2}=-\infty (pois x+2<0 e pequeno, 1/(x+2)\to-\infty).
Conclusão: em x=-2 também a função diverge (um lado para +\infty, o outro para -\infty), logo x=-2 é uma assíntota vertical.
Passo 7
Resumo e interpretação final — como usar isso na prova:
Regra rápida que salva tempo: fatorar o denominador, achar suas raízes; se o numerador não for zero nessas raízes, cada raiz é assíntota vertical. Se o numerador também for zero, verificar se há fator comum (cancelamento) — aí pode ser removível em vez de assíntota.
Aqui, as raízes do denominador são x=2 e x=-2, e o numerador não zera em nenhum desses pontos, então ambos são assíntotas verticais. As verificações dos limites laterais mostraram explicitamente o comportamento infinito.