Determine todas as assíntotas verticais das funções abaixo:
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as assíntotas verticais da função
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-4}.
Informações dadas e pontos importantes do enunciado:
  • A função está escrita como quociente de um numerador x+1 e um denominador x^{2}-4.
  • Pontos potencialmente problemáticos (onde a função pode não estar definida) são as raízes do denominador, isto é os x tais que x^{2}-4=0.
  • O pedido é: listar todas as assíntotas verticais, ou seja, todos os valores a onde f(x) tende para +\infty ou -\infty quando x\to a por algum lado.

Passo 2

O que é uma assíntota vertical (explicação didática e prática)?
  • Definição: dizemos que a reta x=a é uma assíntota vertical de f se, ao nos aproximarmos de a pela esquerda ou pela direita, a função diverge para infinito em módulo. Em símbolos:
\text{se } \lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty,
então x=a é uma assíntota vertical.
  • Teste prático muito útil: se o denominador tende a 0 em x=a enquanto o numerador tende a um número finito e diferente de 0, então a fração tende a \pm\infty (a depender dos sinais) e normalmente x=a será assíntota vertical. Se o numerador também tende a 0, pode acontecer cancelamento (removível) ou comportamento infinito — nesse caso precisa de análise mais detalhada.

Passo 3

Aplicando a ideia prática: vamos achar os pontos onde o denominador se anula (candidatos a assíntota).
  • O denominador é x^{2}-4. Vamos fatorá‑lo:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
  • As raízes do denominador são x=2 e x=-2. Esses são os pontos que precisamos analisar com cuidado (são os únicos pontos onde a função pode não estar definida).

Passo 4

Verificar o numerador nesses pontos (para saber se há cancelamento ou não).
  • Avaliando o numerador (x+1) em x=2:
x+1\Big|_{x=2}=2+1=3\neq0.
  • Avaliando o numerador em x=-2:
x+1\Big|_{x=-2}=-2+1=-1\neq0.
Como o numerador não se anula em nenhum desses pontos, não há cancelamento de fatores: a situação típica ocorre — denominador tende a 0 enquanto numerador tende a uma constante não nula — o que sugere assíntotas verticais em x=2 e x=-2. Para ficar totalmente rigoroso (e para aprender a fazer na prova), vamos calcular os limites laterais e ver o comportamento de f perto desses pontos.

Passo 5

Limites laterais em x=2 (análise detalhada e didática).
  • Reescrevendo f(x) de modo a isolar o fator que vai a zero em x=2:
f(x)=\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+1}{x+2}\cdot\frac{1}{x-2}.
  • Ao aproximar x de 2, o fator \dfrac{x+1}{x+2} tende a \dfrac{3}{4} porque x+1\to3 e x+2\to4. Logo, para x perto de 2 temos aproximadamente
f(x)\approx \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x-2}.
  • Portanto:
    • \displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)=\frac{3}{4}\cdot\lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty (pois x-2>0 e muito pequeno, 1/(x-2)\to+\infty).
    • \displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)=\frac{3}{4}\cdot\lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty (pois x-2<0 e muito pequeno, 1/(x-2)\to-\infty).
  • Conclusão: em x=2 a função diverge (um lado para +\infty, o outro para -\infty), logo x=2 é uma assíntota vertical.

Passo 6

Limites laterais em x=-2 (mesma abordagem, passo a passo).
  • Reescrevendo para isolar o fator que vai a zero em x=-2:
f(x)=\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+1}{x-2}\cdot\frac{1}{x+2}.
  • Ao aproximar x de -2, o fator \dfrac{x+1}{x-2} tende a \dfrac{-1}{-4}=\dfrac{1}{4} porque x+1\to-1 e x-2\to-4. Assim, para x perto de -2,
f(x)\approx \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}.
  • Portanto:
    • \displaystyle \lim_{x\to -2^+} f(x)=\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to -2^+}\frac{1}{x+2}=+\infty (pois x+2>0 e pequeno, 1/(x+2)\to+\infty).
    • \displaystyle \lim_{x\to -2^-} f(x)=\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to -2^-}\frac{1}{x+2}=-\infty (pois x+2<0 e pequeno, 1/(x+2)\to-\infty).
  • Conclusão: em x=-2 também a função diverge (um lado para +\infty, o outro para -\infty), logo x=-2 é uma assíntota vertical.

Passo 7

Resumo e interpretação final — como usar isso na prova:
  • Regra rápida que salva tempo: fatorar o denominador, achar suas raízes; se o numerador não for zero nessas raízes, cada raiz é assíntota vertical. Se o numerador também for zero, verificar se há fator comum (cancelamento) — aí pode ser removível em vez de assíntota.
  • Aqui, as raízes do denominador são x=2 e x=-2, e o numerador não zera em nenhum desses pontos, então ambos são assíntotas verticais. As verificações dos limites laterais mostraram explicitamente o comportamento infinito.

Resposta

x=2
x=-2

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