Determine as assíntotas verticais das funções abaixo, através do cálculo de limites infinitos:
f(x)=\frac{2 x+3}{(x-1)^{3}}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=\frac{2x+3}{(x-1)^{3}}
e queremos determinar as assíntotas verticais, ou seja, os valores de x=a tais que
\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty.

Passo 2

Identificamos que o denominador (x-1)^{3} se anula exclusivamente em x=1. Como o numerador 2x+3 em x=1 vale 2\cdot1+3=5\neq0, x=1 é candidato a assíntota vertical.

Passo 3

Ao aproximar x\to1^-, tem-se (x-1)\to0^- e portanto (x-1)^3\to0^-. O numerador tende a 5. Logo
\lim_{x\to1^-}f(x) =\frac{5}{0^-} =-\infty.

Passo 4

Ao aproximar x\to1^+, tem-se (x-1)\to0^+ e portanto (x-1)^3\to0^+. O numerador também tende a 5. Logo
\lim_{x\to1^+}f(x) =\frac{5}{0^+} =+\infty.

Passo 5

Como nos dois limites laterais, ao nos aproximarmos de x=1, f(x) diverge para \pm\infty, concluímos que
x=1
é uma assíntota vertical de f(x).

Resposta

x=1

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