Se
, então mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar a identidade
Informações relevantes dadas:
-
está definido por . - A função
(arccos) é definida para . - Note que
faz , onde a tangente é indeterminada; portanto a igualdade que queremos provar vale para .
Nada mais será resolvido aqui — só listei o que o problema pede e as informações que temos.
Passo 2
Fazemos uma substituição simples para ficar mais claro: defina
Explicando isso: escrever
significa que
é um ângulo cujo cosseno é
e, pelo valor principal de
, temos
. Logo, pela definição,
Também, pela definição de
do enunciado, temos
Passo 3
Vou usar identidades trigonométricas básicas. Lembra da identidade pitagórica
Ela é fundamental e vale para todo
. Agora vamos dividir essa igualdade por
— antes, explico o que são
e
:
-
. -
.
Dividindopor obtemos
Isso é
Expliquei a origem dessa identidade: é só a pitagórica reescrita em termos de
e
.
Passo 4
Agora substituímos
por
. Assim a identidade do passo anterior fica
Isto é uma versão conveniente que relaciona diretamente
e
.
Passo 5
Voltamos às nossas variáveis do enunciado: lembrando que
e
, substituímos na igualdade do passo anterior:
Mostrei algebraicamente a igualdade pedida. Note que aqui usamos apenas que
e as identidades trigonométricas básicas.
Passo 6
Comentário sobre sinais e domínio (importante para a prova):
- A expressão explícita de
em termos de seria
com sinal escolhido conforme o quadrante de
(para
o sinal é positivo se
e negativo se
).
- Mas como a identidade envolve
, o sinal não importa — por isso o resultado final não exige escolher sinal. - Lembre-se que
é excluído porque tanto quanto são indefinidos.