Se y=\operatorname{tg}\left(\cos ^{-1}(x)\right), então mostre que y^{2}+1=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função y=\operatorname{tg}\big(\cos^{-1}(x)\big) e pede para mostrar a identidade
y^{2}+1=\frac{1}{x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • y está definido por y=\operatorname{tg}\big(\cos^{-1}(x)\big).
  • A função \cos^{-1} (arccos) é definida para x\in[-1,1].
  • Note que x=0 faz \cos^{-1}(x)=\pi/2, onde a tangente é indeterminada; portanto a igualdade que queremos provar vale para x\in[-1,1]\setminus\{0\}.
    Nada mais será resolvido aqui — só listei o que o problema pede e as informações que temos.

Passo 2

Fazemos uma substituição simples para ficar mais claro: defina
\theta=\cos^{-1}(x).
Explicando isso: escrever \theta=\cos^{-1}(x) significa que \theta é um ângulo cujo cosseno é x e, pelo valor principal de \cos^{-1}, temos \theta\in[0,\pi]. Logo, pela definição,
\cos\theta = x.
Também, pela definição de y do enunciado, temos
y=\tan\theta.

Passo 3

Vou usar identidades trigonométricas básicas. Lembra da identidade pitagórica
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1?
Ela é fundamental e vale para todo \theta. Agora vamos dividir essa igualdade por \cos^{2}\theta — antes, explico o que são \tan\theta e \operatorname{sec}\theta:
  • \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.
  • \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}.
    Dividindo \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 por \cos^{2}\theta obtemos
\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+\frac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\frac{1}{\cos^{2}\theta}.
Isso é
\tan^{2}\theta + 1 = \operatorname{sec}^{2}\theta.
Expliquei a origem dessa identidade: é só a pitagórica reescrita em termos de \tan e \operatorname{sec}.

Passo 4

Agora substituímos \operatorname{sec}^{2}\theta por \dfrac{1}{\cos^{2}\theta}. Assim a identidade do passo anterior fica
1+\tan^{2}\theta = \frac{1}{\cos^{2}\theta}.
Isto é uma versão conveniente que relaciona diretamente \tan e \cos.

Passo 5

Voltamos às nossas variáveis do enunciado: lembrando que \tan\theta = y e \cos\theta = x, substituímos na igualdade do passo anterior:
1+y^{2} = \frac{1}{x^{2}}.
Mostrei algebraicamente a igualdade pedida. Note que aqui usamos apenas que \cos\theta=x e as identidades trigonométricas básicas.

Passo 6

Comentário sobre sinais e domínio (importante para a prova):
  • A expressão explícita de y em termos de x seria
y=\tan(\cos^{-1}x)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}
com sinal escolhido conforme o quadrante de \theta (para \theta\in[0,\pi] o sinal é positivo se x>0 e negativo se x<0).
  • Mas como a identidade envolve y^{2}, o sinal não importa — por isso o resultado final não exige escolher sinal.
  • Lembre-se que x=0 é excluído porque tanto \tan(\cos^{-1}0)=\tan(\pi/2) quanto \dfrac{1}{0^{2}} são indefinidos.

Resposta

y^{2}+1=\frac{1}{x^{2}}

Exercícios relacionados