Calcule os limites laterais de cada função:
f(x)=\left{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{1+x} \text { se } x<-1 \\ \sqrt{1+x^{2}} \text { se }-1 \leq x \leq 1 \\ \sqrt[3]{x-1} \text { se } x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
f(x) = \begin{cases} \sqrt[3]{1+x}, & x < -1,\\\ \sqrt{1+x^2}, & -1 \le x \le 1,\\\ \sqrt[3]{x-1}, & x > 1. \end{cases}
Queremos calcular os limites laterais em x=-1 e em x=1. Para isso, vamos usar que ao nos aproximarmos de um ponto pela esquerda (−) ou pela direita (+), devemos usar a definição da parte da função aplicável a cada região.

Passo 2

Para \lim_{x\to -1^-}f(x) nos aproximamos de -1 pela esquerda, ou seja, x<-1. Nesse caso
f(x)=\sqrt[3]{1+x},
logo
\lim_{x\to -1^-}f(x) =\lim_{x\to -1^-}\sqrt[3]{1+x} =\sqrt[3]{1+(-1)} =\sqrt[3]{0} =0.

Passo 3

Para \lim_{x\to -1^+}f(x) nos aproximamos de -1 pela direita, ou seja, -1<x\le1. Aqui
f(x)=\sqrt{1+x^2},
portanto
\lim_{x\to -1^+}f(x) =\lim_{x\to -1^+}\sqrt{1+x^2} =\sqrt{1+(-1)^2} =\sqrt{2}.

Passo 4

Para \lim_{x\to 1^-}f(x) nos aproximamos de 1 pela esquerda, ainda na região -1\le x\le1, em que
f(x)=\sqrt{1+x^2}.
Assim,
\lim_{x\to 1^-}f(x) =\sqrt{1+1^2} =\sqrt{2}.

Passo 5

Para \lim_{x\to 1^+}f(x) nos aproximamos de 1 pela direita, onde x>1 e
f(x)=\sqrt[3]{x-1}.
Logo
\lim_{x\to 1^+}f(x) =\lim_{x\to 1^+}\sqrt[3]{x-1} =\sqrt[3]{1-1} =\sqrt[3]{0} =0.

Resposta

\lim_{x\to -1^-}f(x)=0
\lim_{x\to -1^+}f(x)=\sqrt{2}
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\sqrt{2}
\lim_{x\to 1^+}f(x)=0

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