Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\cos (x)}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{\cos(x)}{e^{x}}.
O conteúdo é limite de função envolvendo uma função trigonométrica e uma exponencial. Vamos usar que a exponencial cresce indefinidamente e que o cosseno é limitado.

Passo 2

Sabemos que para todo x vale
-1 \le \cos(x) \le 1.
Como e^{x}>0, dividindo a desigualdade por e^{x} obtemos
-\,\frac{1}{e^{x}} \;\le\;\frac{\cos(x)}{e^{x}}\;\le\;\frac{1}{e^{x}}.

Passo 3

Como
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{x}} = 0
e também
\lim_{x\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{e^{x}}\Bigr)=0,
pelo Teorema do Confronto (ou do Aperto) segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{\cos(x)}{e^{x}} = 0.

Resposta

0

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