Determine os valores de a e b que tornam a função
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}+a x+3}{x-1}, & \text { se } x<1 \\\ b x+4, & \text { se } x \geq 1 \end{array}\right.
contínua em todos os números reais.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}+a x+3}{x-1},&x<1,\\\ b x+4,&x\ge1, \end{cases}
e pede para que f seja contínua em todos os reais. O ponto potencial de descontinuidade é x=1, pois em x\neq1 cada parte é contínua.

Passo 2

Para f ser contínua em x=1, é preciso que
\lim_{x\to1^-}\frac{x^{2}+a x+3}{x-1} =\;f(1) =\;b\cdot1+4=b+4.
Além disso, para que o limite à esquerda seja finito, o numerador deve zerar em x=1.

Passo 3

Analisando o numerador em x=1:
1^{2}+a\cdot1+3=a+4.
Para anular o numerador em x=1 e evitar divisão por zero infinita, impomos
a+4=0\quad\Longrightarrow\quad a=-4.

Passo 4

Substituindo a=-4, o numerador fica
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3),
logo para x<1 temos
\frac{x^{2}-4x+3}{x-1}=x-3,
e
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(x-3)=1-3=-2.

Passo 5

Para a continuidade em x=1, igualamos esse limite ao valor da segunda parte em 1:
b+4=-2 \quad\Longrightarrow\quad b=-6.

Resposta

a=-4 e b=-6

Exercícios relacionados