Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}-3 x+1}{2 x^{2}+x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}+x}.
Informações dadas: a função racional com polinômios de grau 2 no numerador e no denominador. O ponto de aproximação é x\to -\infty.

Passo 2

Estratégia escolhida (método simples e seguro): dividir numerador e denominador pelo maior grau de x presente nos polinômios, que é x^{2}. Isso transforma a expressão em termos de potências negativas de x (que tendem a zero quando x\to\pm\infty), facilitando a avaliação do limite.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2} (observe que x\neq0 ao nos aproximarmos de -\infty, então a operação é válida):
\frac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}+x} = \frac{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{3x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{x}{x^{2}}} = \frac{1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{2+\dfrac{1}{x}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento dos termos quando x\to -\infty:
  • \dfrac{3}{x}\to 0 porque 1/x\to 0 quando x\to\pm\infty.
  • \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 porque x^{2}\to+\infty e portanto sua recíproca tende a 0.
  • \dfrac{1}{x}\to 0 também.
    Esses limites são padrão: potências negativas de x tendem a zero quando |x|\to\infty.

Passo 5

Aplicando os limites termo a termo na expressão obtida em Passo 3, temos
\lim_{x\to -\infty}\frac{1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{2+\dfrac{1}{x}} = \frac{1-0+0}{2+0}.

Passo 6

Simplificando a fração do passo anterior (resultado da aplicação dos limites dos termos):
\frac{1}{2}.

Passo 7

Comentário didático rápido (regra geral): quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau, o limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 1 no numerador e 2 no denominador), o que dá \tfrac{1}{2}. Isso é uma forma ainda mais direta de ver o resultado.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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