Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a função racional com polinômios de grau
no numerador e no denominador. O ponto de aproximação é
.
Passo 2
Estratégia escolhida (método simples e seguro): dividir numerador e denominador pelo maior grau de
presente nos polinômios, que é
. Isso transforma a expressão em termos de potências negativas de
(que tendem a zero quando
), facilitando a avaliação do limite.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(observe que
ao nos aproximarmos de
, então a operação é válida):
Passo 4
Agora analisamos o comportamento dos termos quando
:
-
porque quando . -
porque e portanto sua recíproca tende a . -
também.
Esses limites são padrão: potências negativas detendem a zero quando .
Passo 5
Aplicando os limites termo a termo na expressão obtida em Passo 3, temos
Passo 6
Simplificando a fração do passo anterior (resultado da aplicação dos limites dos termos):
Passo 7
Comentário didático rápido (regra geral): quando o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau, o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
no numerador e
no denominador), o que dá
. Isso é uma forma ainda mais direta de ver o resultado.