Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a mais infinito:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right).
Informações dadas:
  • A variável é x e ela se aproxima de +\infty.
  • A expressão é a soma de uma constante 1 com a função \dfrac{1}{x}.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): é útil separar a expressão em duas partes, uma constante e uma função que depende de x. Usamos a propriedade que diz que, quando existem, os limites somam:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right) = \lim_{x\to+\infty}1 \;+\; \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}.
Portanto precisamos calcular dois limites mais simples: \lim_{x\to+\infty}1 e \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to+\infty}1.
A função constante f(x)=1 tem o mesmo valor para todo x. Logo, quando x\to+\infty o valor não muda, portanto
\lim_{x\to+\infty}1=1.
Isto é direto: limites de funções constantes são a própria constante.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x} de forma didática.
Intuição: conforme x fica muito grande, \dfrac{1}{x} fica muito pequeno, aproximando-se de 0. Vamos mostrar isso de maneira precisa usando uma estimativa simples:
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Tome
M=\frac{1}{\varepsilon}.
Para todo x tal que x>M (e note que para x\to+\infty só consideramos x grandes e positivos), vale
0<\frac{1}{x}<\frac{1}{M}=\varepsilon.
Isto mostra que |\tfrac{1}{x}-0|<\varepsilon sempre que x>M. Pela definição de limite quando x\to+\infty, concluímos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.

Passo 5

Aplicar a propriedade de limites para a soma. Como:
\lim_{x\to+\infty}1=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,
pela regra que o limite da soma é a soma dos limites (válida aqui porque ambos existem), obtemos
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)=1+0=1.

Passo 6

Resumo e um lembrete prático para prova: sempre que vir algo do tipo 1+\dfrac{1}{x} com x\to+\infty, basta observar que \dfrac{1}{x}\to0, então o limite será a constante 1. Se quiser justificar formalmente, use a estimativa 0<\dfrac{1}{x}<\varepsilon para x>1/\varepsilon.

Resposta

1

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