Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a mais infinito:
Informações dadas:
- A variável é
e ela se aproxima de . - A expressão é a soma de uma constante
com a função .
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): é útil separar a expressão em duas partes, uma constante e uma função que depende de
. Usamos a propriedade que diz que, quando existem, os limites somam:
Portanto precisamos calcular dois limites mais simples:
e
.
Passo 3
Calcular
.
A função constante tem o mesmo valor para todo
. Logo, quando
o valor não muda, portanto
A função constante
Isto é direto: limites de funções constantes são a própria constante.
Passo 4
Calcular
de forma didática.
Intuição: conforme fica muito grande,
fica muito pequeno, aproximando-se de
. Vamos mostrar isso de maneira precisa usando uma estimativa simples:
Intuição: conforme
Seja
arbitrário. Tome
Para todo
tal que
(e note que para
só consideramos
grandes e positivos), vale
Isto mostra que
sempre que
. Pela definição de limite quando
, concluímos que
Passo 5
Aplicar a propriedade de limites para a soma. Como:
pela regra que o limite da soma é a soma dos limites (válida aqui porque ambos existem), obtemos
Passo 6
Resumo e um lembrete prático para prova: sempre que vir algo do tipo
com
, basta observar que
, então o limite será a constante
. Se quiser justificar formalmente, use a estimativa
para
.