Defina matematicamente o que significa \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=L, onde L é um número real.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê uma definição matemática precisa de “\lim_{x\to+\infty} f(x)=L”, onde \,L\in\mathbb{R}.
Informações explícitas do enunciado:
Há uma função f (definida em algum subconjunto de \mathbb{R}).
O símbolo \lim_{x\to+\infty} f(x)=L afirma que, quando x cresce sem limite (vai para +\infty), os valores de f(x) se aproximam do número real L.
O que preciso entregar: a versão formal (precisa, com quantificadores) dessa afirmação.
Passo 2
Vou escrever a definição formal (aquela que cai em prova): usar o esquema "para todo \varepsilon>0 existe M tal que, para todo x suficientemente grande, |f(x)-L|<\varepsilon". Agora a versão rigorosa em símbolos e com explicação do que cada parte quer dizer.
Passo 3
A forma simbólica (sem o texto explicativo) é esta:
(\forall \varepsilon>0): “para todo \varepsilon positivo” — ou seja, para qualquer margem de erro pequena que se queira.
(\exists M\in\mathbb{R}): existe um número real M (dependendo possivelmente de \varepsilon) — esse M marca a partir de qual ponto consideramos x suficientemente grande.
(\forall x\in\mathrm{dom}(f))\; (x>M \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon): para todo x da domínio da função, se x for maior que M então f(x) está dentro da faixa de raio \varepsilon em torno de L.
Em palavras: dados erros arbitrariamente pequenos \varepsilon, existe um corte M tal que, para todos os x maiores que M, |f(x)-L| é menor que \varepsilon.
Passo 4
Interpretação geométrica e intuição (útil na prova): imagine um intervalo vertical aberto (L-\varepsilon,\,L+\varepsilon) em torno de L. A definição diz que existe uma abscissa M tal que toda a parte do gráfico de f para x>M fica dentro desse bandinho vertical. E isso deve valer para qualquer bandinha \varepsilon>0 que você escolher, por menor que seja.
Passo 5
Exemplo prático 1 (modelo de prova): provar que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 usando a definição.
Começo: seja \varepsilon>0 arbitrário.
Quero escolher M de modo que, se x>M, então \left|\dfrac{1}{x}-0\right|<\varepsilon.
Observe que \left|\dfrac{1}{x}-0\right|=\dfrac{1}{x}. A desigualdade \dfrac{1}{x}<\varepsilon é equivalente (para x>0) a x>\dfrac{1}{\varepsilon}.
Logo, basta tomar M=\dfrac{1}{\varepsilon}. Então, para todo x>M tem \left|\dfrac{1}{x}-0\right|<\varepsilon. Isso prova a afirmação pela definição.
Passo 6
Exemplo prático 2 (um pouco mais algébrico): provar que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+3}{x+1}=2.
Compute a diferença: \dfrac{2x+3}{x+1}-2=\dfrac{2x+3-2x-2}{x+1}=\dfrac{1}{x+1}.
Dado \varepsilon>0, queremos \left|\dfrac{1}{x+1}\right|<\varepsilon. Para x>-1 isso é equivalente a x+1>\dfrac{1}{\varepsilon}, i.e. x>\dfrac{1}{\varepsilon}-1.
Assim escolha M=\max\{0,\dfrac{1}{\varepsilon}-1\}. Então, para todo x>M vale \left|\dfrac{2x+3}{x+1}-2\right|<\varepsilon. Isso conclui a prova pelo critério formal.
Passo 7
Como provar que um limite NÃO é L (negação útil em prova): a negação formal da definição é
Ou seja: existe um \varepsilon_0>0 tal que, não importa quão grande seja M, sempre se encontra algum x>M com f(x) fora do intervalo (L-\varepsilon_0,L+\varepsilon_0). Em provas de negação é típico escolher um \varepsilon_0 conveniente (por exemplo \varepsilon_0=\tfrac{1}{2}) e construir, para cada M, um x>M que viola a condição.
Passo 8
Dicas finais para a prova/exame (estilo “como aplicar a definição” rápido):
Passo a passo padrão: (i) escreva “Seja \varepsilon>0 arbitrário”; (ii) manipule |f(x)-L|<\varepsilon para achar uma condição do tipo x>M(\varepsilon); (iii) defina M explicitamente em função de \varepsilon; (iv) conclua: se x>M então |f(x)-L|<\varepsilon.
Lembre que M pode depender de \varepsilon. Não precisa ser único nem o menor possível, apenas servir ao propósito.
Para limites que envolvem polinômios, frações racionais etc., é comum dividir por potências de x e reduzir a desigualdade a algo do tipo 1/x<\varepsilon ou similar, como nos exemplos mostrados.
Respire fundo e use a estrutura fixa: “dado \varepsilon>0, escolho M=\dots; então para todo x>M …”.
Resposta
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L\quad\text{se, e somente se,}\quad (\forall \varepsilon>0)\;(\exists M\in\mathbb{R})\;(\forall x\in\mathrm{dom}(f))\;\big(x>M \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\big).