Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}\right)^{e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^{x}\bigr)^{e^{-x}}.
O conteúdo envolve propriedades de potências e exponenciais, além de limites de tipo “infinito vezes zero”. Vamos usar a representação com logaritmo e o fato de que a exponencial domina funções polinomiais.

Passo 2

Reescrevemos a expressão usando a fórmula a^{b}=e^{b\ln(a)}:
\bigl(e^{x}\bigr)^{e^{-x}} = e^{\,e^{-x}\,\ln\bigl(e^{x}\bigr)}.

Passo 3

Como \ln\bigl(e^{x}\bigr)=x, o expoente fica
e^{-x}\,\ln\bigl(e^{x}\bigr) = x\,e^{-x}.
Para o limite de x\,e^{-x} quando x\to\infty, note que
x\,e^{-x} = \frac{x}{e^{x}}
e, por L’Hôpital (ou pelo fato de que e^{x} cresce muito mais rápido que x),
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x}} = 0.

Passo 4

Como o limite do expoente é 0 e a função e^{(\cdot)} é contínua, temos
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^{x}\bigr)^{e^{-x}} = e^{\lim_{x\to\infty}x\,e^{-x}} = e^{0} = 1.

Resposta

1

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