Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de 3 \mathrm{~km}^{2}, e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão 2 . Assim, no segundo ano a área total desmatada era de 3+2 \cdot 3=9 \mathrm{~km}^{2}. Se a área total desmatada nessa região atingiu 381 \mathrm{~km}^{2} nos n anos em que ocorreram desmatamentos, determine o valor de n.

Passo 1

O enunciado diz que a área desmatada no primeiro ano foi de 3,km ^2 e que, a partir daí, a área desmatada a cada ano cresce segundo uma progressão geométrica de razão 2. Queremos saber em quantos anos n a soma total das áreas desmatadas atingiu 381,km ^2.

Passo 2

Em toda progressão geométrica, o termo geral a_k é dado por
a_k = a_1 \cdot r^{\,k-1},
onde a_1 é o primeiro termo e r a razão. Aqui temos
a_1 = 3,\quad r = 2,
logo
a_k = 3 \cdot 2^{\,k-1}.

Passo 3

A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é
S_n = a_1 \,\frac{r^n - 1}{r - 1}.
Substituindo a_1=3 e r=2, obtemos
S_n = 3 \,\frac{2^n - 1}{2 - 1} = 3\,(2^n - 1).

Passo 4

Queremos S_n = 381. Então
3\,(2^n - 1) = 381 \quad\Longrightarrow\quad 2^n - 1 = 127 \quad\Longrightarrow\quad 2^n = 128.
Como 128 = 2^7, segue que
n = 7.

Resposta

7

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