Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de
, e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão 2 . Assim, no segundo ano a área total desmatada era de
. Se a área total desmatada nessa região atingiu
nos
anos em que ocorreram desmatamentos, determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado diz que a área desmatada no primeiro ano foi de
,km
e que, a partir daí, a área desmatada a cada ano cresce segundo uma progressão geométrica de razão
. Queremos saber em quantos anos
a soma total das áreas desmatadas atingiu
,km
.
Passo 2
Em toda progressão geométrica, o termo geral
é dado por
onde
é o primeiro termo e
a razão. Aqui temos
logo
Passo 3
A soma dos
primeiros termos de uma progressão geométrica é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Queremos
. Então
Como
, segue que