Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty} e^{-x}\,\ln(x).
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de uma função que resulta numa forma indeterminada do tipo \tfrac{\infty}{\infty}. Vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Reescrevemos
e^{-x}\,\ln(x)
como uma razão para aplicar L’Hôpital:
e^{-x}\,\ln(x)=\frac{\ln(x)}{e^{x}}.
Quando x\to\infty, temos \ln(x)\to\infty e e^x\to\infty, caracterizando uma indeterminação \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
\text{numerador}' = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x}, \quad \text{denominador}' = \frac{d}{dx}\bigl(e^x\bigr)=e^x.
Então o limite passa a ser
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{1}{x}}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\,e^x}.

Passo 4

Para x\to\infty, o produto x\,e^x cresce sem limite, logo
\frac{1}{x\,e^x}\to 0.
Portanto o limite original é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados