(1,1 pontos) Faça o estudo completo da função
Domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
Estamos estudando a função
Vamos determinar o domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo
, assíntotas, os sinais de
e
, montar a tabela de monotonicidade e concavidade, esboçar o gráfico e identificar máximos, mínimos e pontos de inflexão.
Passo 2
O domínio é dado por não anular o denominador:
Logo
Passo 3
Verificamos a paridade:
então
é par. As raízes vêm de
, ou seja
, que pertence ao domínio. A interseção com o eixo
é
.
Passo 4
Assíntotas verticais nos pontos onde o denominador zera:
Para
temos
portanto há assíntota horizontal
Passo 5
Calculamos a primeira derivada por quociente:
Então
em
e é indefinida em
.
Passo 6
O sinal de
: o denominador é sempre positivo no domínio, e o coeficiente
é negativo, logo
Assim
para
(cresce) e
para
(decresce). Há um máximo local em
.
Passo 7
Para a segunda derivada usamos
O numerador é positivo sempre e o sinal vem de
. Concluímos:
- Se
então e (côncavo para cima). - Se
então e (côncavo para baixo).
Não há ponto de inflexão porque não existeno domínio que anule .
Passo 8
Tabela resumida por intervalos:
Esboço do gráfico:
- Em
: cresce de até , côncavo pra cima. - Em
: desce de até , côncavo pra baixo. - Em
: decresce de a , côncavo pra baixo. - Em
: decresce de a , côncavo pra cima.
Ponto de máximo local em. Não há mínimo local nem ponto de inflexão.
Resposta
Domínio:
.
é par.
Raiz e interseção com :
.
Assíntotas verticais: e
.
Assíntota horizontal: .
: cresce em
, decresce em
. Máximo local em
.
: côncavo para cima em
, côncavo para baixo em
. Sem pontos de inflexão.
Gráfico esboçado conforme descrito acima.
Raiz e interseção com
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Gráfico esboçado conforme descrito acima.