(1,1 pontos) Faça o estudo completo da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-9}
Domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.

Passo 1

Estamos estudando a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-9}
Vamos determinar o domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo y, assíntotas, os sinais de f'(x) e f''(x), montar a tabela de monotonicidade e concavidade, esboçar o gráfico e identificar máximos, mínimos e pontos de inflexão.

Passo 2

O domínio é dado por não anular o denominador:
x^{2}-9\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm3.
Logo
\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,-3)\,\cup\,(-3,3)\,\cup\,(3,\infty).

Passo 3

Verificamos a paridade:
f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{(-x)^{2}-9}=\frac{x^{2}}{x^{2}-9}=f(x),
então f é par. As raízes vêm de x^{2}=0, ou seja x=0, que pertence ao domínio. A interseção com o eixo y é f(0)=0.

Passo 4

Assíntotas verticais nos pontos onde o denominador zera:
x=3\quad\text{e}\quad x=-3.
Para x\to\pm\infty temos
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}-9}=1,
portanto há assíntota horizontal y=1.

Passo 5

Calculamos a primeira derivada por quociente:
f'(x) =\frac{2x(x^{2}-9)-x^{2}\cdot2x}{(x^{2}-9)^{2}} =\frac{-18x}{(x^{2}-9)^{2}}.
Então f'(x)=0 em x=0 e é indefinida em x=\pm3.

Passo 6

O sinal de f'(x)=-18x/(x^{2}-9)^{2}: o denominador é sempre positivo no domínio, e o coeficiente -18 é negativo, logo
\sgn f'(x)=\sgn(-x).
Assim f'(x)>0 para x<0 (cresce) e f'(x)<0 para x>0 (decresce). Há um máximo local em x=0.

Passo 7

Para a segunda derivada usamos
f''(x) =54\,\frac{x^{2}+3}{(x^{2}-9)^{3}}.
O numerador é positivo sempre e o sinal vem de (x^{2}-9)^{3}. Concluímos:
  • Se |x|>3 então x^{2}-9>0 e f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Se |x|<3 então x^{2}-9<0 e f''(x)<0 (côncavo para baixo).
    Não há ponto de inflexão porque não existe x no domínio que anule f''(x).

Passo 8

Tabela resumida por intervalos:
\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & & -3 & & 0 & & 3 & & +\infty\\hline f'(x) & & + &\uparrow&\text{VA}&\uparrow&0&\downarrow&\text{VA}&\downarrow & \\\ f''(x)& & + & & & - & & - & & + & \end{array}
Esboço do gráfico:
  • Em (-\infty,-3): cresce de y\to1^{+} até +\infty, côncavo pra cima.
  • Em (-3,0): desce de -\infty até f(0)=0, côncavo pra baixo.
  • Em (0,3): decresce de 0 a -\infty, côncavo pra baixo.
  • Em (3,\infty): decresce de +\infty a 1^{+}, côncavo pra cima.
    Ponto de máximo local em (0,0). Não há mínimo local nem ponto de inflexão.

Resposta

Domínio: (-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty). f é par.
Raiz e interseção com y: (0,0).
Assíntotas verticais: x=-3 e x=3.
Assíntota horizontal: y=1. f'(x)=-18x/(x^{2}-9)^{2}: cresce em (-\infty,0), decresce em (0,\infty). Máximo local em (0,0). f''(x)=54(x^{2}+3)/(x^{2}-9)^{3}: côncavo para cima em (-\infty,-3)\cup(3,\infty), côncavo para baixo em (-3,3). Sem pontos de inflexão.
Gráfico esboçado conforme descrito acima.

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