Sabendo que M é o último dígito da sua matrícula, calcule, exibindo seus cálculos, a seguinte integral
\int_{0}^{M} \frac{d x}{x-3}

Passo 1

O enunciado quer calcular a integral
\int_{0}^{M}\frac{dx}{x-3}
onde M é o último dígito da matrícula. O conteúdo é aplicação da regra de primitivação de funções racionais do tipo \frac{1}{x-a}, cuja primitiva é \ln|x-a|.

Passo 2

Encontramos uma primitiva de \frac{1}{x-3}. De fato, como
\frac{d}{dx}\bigl[\ln|x-3|\bigr] =\frac{1}{x-3},
temos
\int \frac{dx}{x-3} = \ln|x-3| + C.

Passo 3

Para a integral definida de 0 até M, avaliamos a primitiva nos limites:
\int_{0}^{M}\frac{dx}{x-3} =\bigl[\ln|x-3|\bigr]_{0}^{M} =\ln|M-3| - \ln|0-3| =\ln|M-3| - \ln3.

Passo 4

Observe que se M=3 ou M>3 a integral cruza a singularidade x=3 e fica imprópria (divergente). Para todo M\neq3, o resultado vale conforme encontrado. Podemos reescrever de forma compacta:
\int_{0}^{M}\frac{dx}{x-3} =\ln\frac{|M-3|}{3},\qquad M\neq3.

Resposta

\int_{0}^{M}\frac{dx}{x-3} =\ln\frac{|M-3|}{3},\quad M\neq3.

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