Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(x)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0^{+}}x^{\tfrac1x}.
Esse tipo de limite é da forma “ 0^{+\infty}”, uma indeterminação. Para resolver, vamos recorrer à transformação logarítmica e depois usar a função exponencial.

Passo 2

Defina
L = \lim_{x\to0^{+}}x^{\tfrac1x}.
Para eliminar a potência, aplique o logaritmo natural:
\ln L = \lim_{x\to0^{+}}\ln\bigl(x^{\tfrac1x}\bigr) = \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}\,\ln x.

Passo 3

Analise o comportamento de \frac{\ln x}{x} quando x\to0^{+}. Note que \ln x\to-\infty e x\to0^{+},
então
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{x} = -\infty.
Logo,
\ln L = -\infty.

Passo 4

Como \ln L = -\infty, obtemos
L = e^{\ln L} = e^{-\infty} = 0.
Portanto, o limite original vale zero.

Resposta

0

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