Determine todas as assíntotas verticais das funções abaixo:
h(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} e pede: determinar todas as assíntotas verticais dessa função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão da função é h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}.
  • A presença de uma raiz quadrada e de uma divisão indica que devemos prestar atenção onde a raiz é real e onde o denominador pode ser zero.

Passo 2

Definição prática de assíntota vertical (lembrando passo a passo): um número a\in\mathbb{R} é assíntota vertical de h se a é um ponto de acumulação do domínio de h e pelo menos uma das seguintes situações ocorre:
\lim_{x\to a^-} h(x)=\pm\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to a^+} h(x)=\pm\infty.
Ou seja, ao nos aproximarmos de a por valores de x onde h está definida, h(x) tende a infinito (positivo ou negativo). Pela definição, primeiro precisamos achar o domínio e os pontos que podem causar esse comportamento.

Passo 3

Determinar o domínio de h. Para a expressão \sqrt{4-x^{2}} ser real, é necessário:
4-x^{2}\ge 0.
Resolvendo:
4-x^{2}\ge 0 \iff x^{2}\le 4 \iff -2\le x\le 2.
Porém, como esse termo está no denominador, não podemos ter \sqrt{4-x^{2}}=0, porque dividir por zero é proibido. Logo excluímos os pontos onde 4-x^{2}=0, isto é, x=\pm 2. Portanto o domínio real de h é
\mathrm{Dom}(h)=(-2,2).

Passo 4

Identificar candidatos a assíntotas verticais: são pontos de acumulação do domínio que não pertencem ao domínio. Como -2 e 2 são limites do intervalo (-2,2), eles são pontos de acumulação do domínio e não estão no domínio. Portanto os candidatos são x=-2 e x=2. Agora vamos estudar o comportamento de h(x) quando x se aproxima desses pontos por dentro do domínio.

Passo 5

Comportamento de h(x) quando x\to 2^- (aproximação por dentro do domínio). Para x em (-2,2) temos 4-x^{2}>0, então \sqrt{4-x^{2}}>0. Quando x\to 2^- temos 4-x^{2}\to 0^+, logo \sqrt{4-x^{2}}\to 0^+. Como o numerador é 1>0, o quociente tende a +\infty. Formalmente:
\lim_{x\to 2^-} h(x)=\lim_{x\to 2^-}\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}=+\infty.
Pode-se ver também por substituição x=2-t com t\to 0^+: então 4-x^{2}=4-(2-t)^2=4t-t^2\sim 4t e \sqrt{4-x^{2}}\sim 2\sqrt{t}, de onde h(x)\sim\dfrac{1}{2\sqrt{t}}\to+\infty. Isso confirma o comportamento.

Passo 6

Comportamento de h(x) quando x\to (-2)^+ (aproximação por dentro do domínio). Para x em (-2,2) e x\to -2^+ temos novamente 4-x^{2}\to 0^+ e \sqrt{4-x^{2}}\to 0^+. Novamente o numerador é positivo, então
\lim_{x\to -2^+} h(x)=\lim_{x\to -2^+}\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}=+\infty.
Um cálculo análogo com x=-2+s, s\to 0^+, mostra que h(x)\sim\dfrac{1}{2\sqrt{s}}\to+\infty.

Passo 7

Conclusão sobre assíntotas verticais: tanto em x=2 quanto em x=-2 existe uma das aproximações pelo domínio que faz h(x)\to+\infty. Portanto ambos os pontos são assíntotas verticais de h.

Resposta

x=-2
x=2

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