Determine todas as assíntotas verticais das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar todas as assíntotas verticais dessa função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão da função é
. - A presença de uma raiz quadrada e de uma divisão indica que devemos prestar atenção onde a raiz é real e onde o denominador pode ser zero.
Passo 2
Definição prática de assíntota vertical (lembrando passo a passo): um número
é assíntota vertical de
se
é um ponto de acumulação do domínio de
e pelo menos uma das seguintes situações ocorre:
Ou seja, ao nos aproximarmos de
por valores de
onde
está definida,
tende a infinito (positivo ou negativo). Pela definição, primeiro precisamos achar o domínio e os pontos que podem causar esse comportamento.
Passo 3
Determinar o domínio de
. Para a expressão
ser real, é necessário:
Resolvendo:
Porém, como esse termo está no denominador, não podemos ter
, porque dividir por zero é proibido. Logo excluímos os pontos onde
, isto é,
. Portanto o domínio real de
é
Passo 4
Identificar candidatos a assíntotas verticais: são pontos de acumulação do domínio que não pertencem ao domínio. Como
e
são limites do intervalo
, eles são pontos de acumulação do domínio e não estão no domínio. Portanto os candidatos são
e
. Agora vamos estudar o comportamento de
quando
se aproxima desses pontos por dentro do domínio.
Passo 5
Comportamento de
quando
(aproximação por dentro do domínio). Para
em
temos
, então
. Quando
temos
, logo
. Como o numerador é
, o quociente tende a
. Formalmente:
Pode-se ver também por substituição
com
: então
e
, de onde
. Isso confirma o comportamento.
Passo 6
Comportamento de
quando
(aproximação por dentro do domínio). Para
em
e
temos novamente
e
. Novamente o numerador é positivo, então
Um cálculo análogo com
,
, mostra que
.
Passo 7
Conclusão sobre assíntotas verticais: tanto em
quanto em
existe uma das aproximações pelo domínio que faz
. Portanto ambos os pontos são assíntotas verticais de
.