Calcule os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{4 x^{3}-x^{2} y}{2 x y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{4x^3 - x^2y}{2xy^2}
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. Para existir esse limite, o valor da expressão ao aproximar (x,y) de (0,0) deve ser o mesmo por todas as direções de aproximação.

Passo 2

Sempre que possível, simplificamos a expressão cancelando fatores comuns (valendo para (x,y)\neq(0,0)):
\frac{4x^3 - x^2y}{2xy^2} = \frac{x^2(4x - y)}{2x\,y^2} = \frac{x(4x - y)}{2\,y^2}.
Isso mostra que a forma final depende de x e y de maneira não trivial.

Passo 3

Para testar dependência de direção, aproximamos por uma reta y = kx (com k\neq0). Substituindo:
\frac{x\bigl(4x - (kx)\bigr)}{2\,(kx)^2} = \frac{x^2(4 - k)}{2\,k^2x^2} = \frac{4 - k}{2k^2}.
Esse valor \tfrac{4-k}{2k^2} varia quando mudamos k.
Por exemplo:
\text{para }k=1:\quad \frac{4-1}{2\cdot1^2} = \frac{3}{2}, \quad \text{para }k=2:\quad \frac{4-2}{2\cdot2^2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.
Como duas direções dão limites diferentes, o limite é dependente do caminho.

Passo 4

Se o limite dependesse do caminho, ele não existe. Como encontramos valores distintos para k=1 e k=2, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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