Mostre que os limites abaixo não existem usando a regra dos dois caminhos:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-x^{2} y+x y^{2}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=\frac{x^{3}-x^{2}y+x y^{2}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}
não tem limite quando (x,y)\to(0,0), usando a regra dos dois caminhos. O conteúdo necessário é entender que, se ao aproximar por duas curvas distintas chegamos a valores diferentes, então o limite não existe.

Passo 2

Escolhemos primeiro o caminho y=0. Substituindo em f, para x\neq0:
f(x,0)=\frac{x^{3}-x^{2}\cdot0+x\cdot0^{2}-0^{3}}{x^{3}+0^{3}} =\frac{x^{3}}{x^{3}}=1.
Logo
\lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,y)=1.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho y=x. Substituindo em f, para x\neq0:
f(x,x) =\frac{x^{3}-x^{2}\,x+x\,x^{2}-x^{3}}{x^{3}+x^{3}} =\frac{x^{3}-x^{3}+x^{3}-x^{3}}{2x^{3}} =\frac{0}{2x^{3}}=0.
Logo
\lim_{(x,x)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 4

Como ao aproximarmos de (0,0) por y=0 obtemos 1 e por y=x obtemos 0, temos dois caminhos com limites distintos. Pela regra dos dois caminhos, o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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