Mostre que os limites abaixo não existem usando a regra dos dois caminhos:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} e^{y}-y^{2} e^{x}}{\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f(x,y)=\frac{x^{2}e^{y}-y^{2}e^{x}}{(x^{2}+y^{2})e^{x}}
tem limite quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a estratégia é a regra dos dois caminhos: se o limite existisse, deveria ser o mesmo ao longo de qualquer curva que leve a (0,0). Vamos comparar dois caminhos simples: y=0 e x=0.

Passo 2

No caminho y=0 temos
f(x,0)=\frac{x^{2}e^{0}-0}{(x^{2}+0)\,e^{x}} =\frac{x^{2}}{x^{2}e^{x}} =e^{-x}.
Como \lim_{x\to0}e^{-x}=e^{0}=1, obtemos
\lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,0)=1.

Passo 3

No caminho x=0 temos
f(0,y)=\frac{0-y^{2}e^{0}}{(0+y^{2})\,e^{0}} =\frac{-\,y^{2}}{y^{2}} =-1.
Como \lim_{y\to0}(-1)=-1, fica
\lim_{(0,y)\to(0,0)}f(0,y)=-1.

Passo 4

Os dois limites ao longo de curvas diferentes dão valores distintos (1 e -1). Logo, pela regra dos dois caminhos, o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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