Calcule os limites abaixo
lim (x, y) (0,1) x^4-(y-1)^4x^2+(y-1)^2

Passo 1

A questão pede o limite de uma função de duas variáveis quando , (x,y)to(0,1). É um problema de limites em várias variáveis, e para resolver vamos precisar usar mudança de variáveis para centralizar no ponto de interesse e factorização de diferença de potências.

Passo 2

Vamos fazer a troca de variáveis
u = x, v = y - 1
Com isso o ponto (x,y)=(0,1) vira (u,v)=(0,0), e a expressão vira
x^4 - (y-1)^4x^2 + (y-1)^2 = u^4 - v^4u^2 + v^2

Passo 3

Agora vamos usar a fatoração da diferença de quartas potências, que é um caso da diferença de quadrados duas vezes aplicada:
u^4 - v^4 = (u^2 - v^2)(u^2 + v^2)

Passo 4

Substituindo a fatoração na fração temos
u^4 - v^4u^2 + v^2 = (u^2 - v^2)(u^2 + v^2)u^2 + v^2 = u^2 - v^2,
para (u,v)neq(0,0).

Passo 5

Ficou uma função fácil de avaliar no limite: basta observar que u^2to0 e v^2to0 quando (u,v)to(0,0). Logo
lim(u,v)to(0,0)(u^2 - v^2) = 0

Resposta

0

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