Calcule os limites abaixo:
[\mathbf{1} \mathbf{~ p t}] \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}.
O conteúdo envolvido é o estudo de limites que levam a formas indeterminadas do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos verificar a forma indeterminada e, depois, fatorar os polinômios.

Passo 2

Verificamos a forma da expressão ao substituir x=-1 diretamente:
\frac{(-1)^{2}+2(-1)+1}{(-1)^{2}-1} =\frac{1-2+1}{1-1} =\frac{0}{0},
ou seja, temos uma indeterminação \tfrac{0}{0}. Precisamos, então, fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar cada polinômio:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2},
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 4

Substituindo essas fatorações na fração original, obtemos
\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1} =\frac{(x+1)^{2}}{(x-1)(x+1)} =\frac{x+1}{x-1},
válido para x\neq -1. Agora a forma indeterminada desapareceu.

Passo 5

Calculamos o limite da expressão simplificada:
\lim_{x\to -1}\frac{x+1}{x-1} =\frac{(-1)+1}{(-1)-1} =\frac{0}{-2} =0.

Resposta

0

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