Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y^{\text {iv }}+5 y^{\prime \prime}+4 y=1-u_{\pi}(t) ; \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear com forçamento em degrau deslocado
y^{(4)} + 5\,y'' + 4\,y = 1 - u_{\pi}(t)
sujeita a condições iniciais nulas y(0)=y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0.
O método mais direto é usar a transformada de Laplace, fatorar o polinômio característico e aplicar o teorema do segundo deslocamento para tratar u_{\pi}(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace e lembrando que todas as condições iniciais são zero, obtemos
s^4 Y(s) + 5\,s^2 Y(s) + 4\,Y(s) \;=\; \frac{1}{s} \;-\;\frac{e^{-\pi s}}{s}.
Isolando Y(s), vem
Y(s) \;=\;\Bigl(\tfrac{1}{s}-\tfrac{e^{-\pi s}}{s}\Bigr)\,\frac{1}{s^4+5s^2+4} \;=\;H(s)\;-\;e^{-\pi s}H(s),
onde definimos
H(s)=\frac{1}{s\,(s^2+1)\,(s^2+4)}.

Passo 3

Fatoramos o denominador e escrevemos H(s) em frações parciais:
\frac{1}{s\,(s^2+1)\,(s^2+4)} =\frac{A}{s}+\frac{Bs}{s^2+1}+\frac{Ds}{s^2+4}.
Igualando coeficientes, resolve-se o sistema e encontra-se
A=\tfrac14,\quad B=-\tfrac13,\quad D=\tfrac1{12}.
Logo
H(s)=\frac{1}{4\,s} -\frac{1}{3}\,\frac{s}{s^2+1} +\frac{1}{12}\,\frac{s}{s^2+4}.

Passo 4

Fazendo a transformada inversa de cada termo, chega-se à resposta não deslocada
y_1(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} =\frac14 \;-\;\frac{1}{3}\cos t\;+\;\frac{1}{12}\cos(2t), \quad t\ge0.
Pelo teorema do segundo deslocamento, a parcela com e^{-\pi s}H(s) produz
y_2(t)=u_{\pi}(t)\,y_1(t-\pi).

Passo 5

Como \cos(t-\pi)=-\cos t e \cos\bigl(2(t-\pi)\bigr)=\cos(2t),
temos para t\ge\pi
y_2(t)=u_{\pi}(t)\Bigl[\tfrac14+\tfrac{1}{3}\cos t+\tfrac{1}{12}\cos(2t)\Bigr].
Logo a solução completa é
y(t)=y_1(t)-y_2(t).

Resposta

Para 0\le t<\pi:
y(t)=\frac14-\frac{1}{3}\cos t+\frac{1}{12}\cos(2t).
Para t\ge\pi:
y(t)=-\frac{2}{3}\cos t.

Exercícios relacionados