Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite do seguinte jeito:
Aqui, o limite está considerando que
se aproxima de 0 e
se aproxima de 1 ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como comportam essas expressões quando
e
mudam esses valores. Vamos usar um pouco de álgebra e propriedades de limites para simplificar essa expressão e ver se conseguimos encontrar o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.
O numerador é
. Quando
se aproxima de 0 e
se aproxima de 1, substituindo na expressão, temos:
Então, o numerador tende a 0.
No denominador, temos
. Substituindo
e
:
Então, o denominador também tende a 0. Estamos com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos tentar simplificar a expressão. Uma técnica comum é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar as raízes. O conjugado de
é
.
Então, multiplicamos numerador e denominador por
:
Simplificando o denominador usando a diferença de quadrados:
Perceba que
, que é o denominador. Então, podemos simplificar:
Desde que
, a simplificação é válida.
Passo 4
Agora, a expressão ficou mais simples:
Vamos calcular o limite quando
e
:
Então, o limite da expressão original é 0.
Resposta
O limite é igual a 0.