Calcule os limites abaixo ou mostre que eles não existem:
lim substackx 0 y 1 x+y-1raizx-raiz1-y

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite do seguinte jeito:
limsubstackx 0 y 1 x + y - 1raizx - raiz1 - y
Aqui, o limite está considerando que x se aproxima de 0 e y se aproxima de 1 ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como comportam essas expressões quando x e y mudam esses valores. Vamos usar um pouco de álgebra e propriedades de limites para simplificar essa expressão e ver se conseguimos encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.
O numerador é x + y - 1. Quando x se aproxima de 0 e y se aproxima de 1, substituindo na expressão, temos:
0 + 1 - 1 = 0
Então, o numerador tende a 0.
No denominador, temos raizx - raiz1 - y. Substituindo x = 0 e y = 1:
raiz0 - raiz1 - 1 = 0 - 0 = 0
Então, o denominador também tende a 0. Estamos com uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos tentar simplificar a expressão. Uma técnica comum é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar as raízes. O conjugado de raizx - raiz1 - y é raizx + raiz1 - y.
Então, multiplicamos numerador e denominador por raizx + raiz1 - y:
x + y - 1raizx - raiz1 - y times raizx + raiz1 - yraizx + raiz1 - y = (x + y - 1)(raizx + raiz1 - y)(raizx)^2 - (raiz1 - y)^2
Simplificando o denominador usando a diferença de quadrados:
(x + y - 1)(raizx + raiz1 - y)x - (1 - y) = (x + y - 1)(raizx + raiz1 - y)x - 1 + y
Perceba que x + y - 1 = y + x -1 = x -1 + y, que é o denominador. Então, podemos simplificar:
(x + y - 1)(raizx + raiz1 - y)x + y - 1 = raizx + raiz1 - y
Desde que x + y - 1 neq 0, a simplificação é válida.

Passo 4

Agora, a expressão ficou mais simples:
raizx + raiz1 - y
Vamos calcular o limite quando x 0 e y 1:
raiz0 + raiz1 - 1 = 0 + 0 = 0
Então, o limite da expressão original é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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